Требования к математической модели

Моделирование, общие понятия

Задача моделирования – исследование сложных объектов или процессов на их физических или математических моделях. Цель моделирования – найти оптимальное (наилучшее по каким-либо критериям) техническое решение. Виды моделирования:

Ø физическое;

Ø математическое;

Ø графическое (геометрическое).

При моделировании происходит замена наиболее важных свойств изучаемой системы строгими, но упрощенными по отношению к исходному природному явлению научными формулировками – моделями. Модель обеспечивает возможность точного описания и предсказания поведения системы, но только в строго ограниченной области применения — пока справедливы те исходные упрощения, на основе которых модель и строилась.

Например, при моделировании полета спутника вокруг Земли его стенки можно считать абсолютно твердым, а при моделировании столкновения того же спутника с микрометеоритом даже сверхтвердое железо можно с очень большой точностью описывать как идеальную несжимаемую жидкость. В этом парадоксальная особенность моделирования – его точность, вызванная к жизни принципиально неточными, по самой своей сущности приближенными, годными только в определенной области явлений, моделями реальной системы.

Процессы функционирования и структуру системы можно описать  посредством математического моделирования. Математическое моделирование – процесс создания математической модели и действий с ней с целью получения сведений о реальной системе. Математическая модель – совокупность математических объектов и связей между ними, которая адекватно отражает важнейшие свойства системы. Математические объекты – числа, переменные, матрицы и т.п. Связи между математическими объектами – уравнения, неравенства и т.п. Любые научно-технические расчеты являются специализированными видами математического моделирования.

Система – множество закономерно связанных друг с другом элементов, образующих единую целостность, с указанием связей между ними и цели функционирования.  Свойства системы отличаются от суммы свойств ее элементов. Примеры: Станок ¹ å(детали + узлы); Человек ¹ å(мозг + печень + позвоночник).

Классификация математических моделей

По способу анализа математические модели разделяют на аналитические, алгоритмические и имитационные. Аналитические модели могут быть:

1) качественными, когда определяется характер зависимости выходных параметров от входных, само существование решения и т.д. Например, возрастет или падает сила резания с увеличением скорости, возможно ли движение со скоростью большей скорости света и т.д. Построение такой модели является необходимым шагом при изучении сложной системы.

2) счетные (аналитические) модели представляют собой явные математические зависимости между входными, внутренними и выходными характеристиками системы. Такие модели всегда предпочтительней, поскольку наиболее эффективны при анализе законов функционирования системы, оптимизации и т.д. К сожалению, получить их возможно не всегда и только при существенном упрощении изучаемой системы. Помимо счетных (аналитических) моделей, построенных на основании понимания процессов, происходящих в системе, это могут быть также и модели, построенные на основе анализа результатов экспериментов с «черным ящиком». Пример – зависимость силы резания от скорости, подачи и глубины резания.

3) численными, когда получают числовые значения выходных параметров для заданных значений входных. Пример – конечно-элементные расчеты. Численные модели универсальны, но дают лишь частные результаты, по которым трудно делать обобщенные выводы.

Алгоритмическая модель представлена в форме алгоритма вычислений. В отличие от аналитических моделей ход расчета зависит от промежуточных результатов.

Имитационное моделирование основано на прямом описании моделируемого объекта. При построении имитационной модели описывают законы функционирования каждого элемента в отдельности и связи между ними. В отличие от аналитического, для него характерно структурное подобие объекта и модели. Наиболее часто имитационное моделирование используется при изучении сложных случайных процессов. Например, на вход модели автоматической линии (АЛ) подают заготовки, размеры которых имеют случайный разброс. При этом модель обработки на каждом станке АЛ чувствительна к фактическим размерам заготовки. После виртуальной «обработки» сотен тысяч заготовок возможно найти то стечение обстоятельств, при котором АЛ остановится и избежать его еще при проектировании.

По характеру функционирования и виду параметров системы математические модели также подразделяются на непрерывные и дискретные; статические и динамические; детерминированные и стохастические (вероятностные).

В непрерывных системах параметры изменяются постепенно, в дискретных - скачкообразно, импульсно. Например, в модели токарного резца износ постоянно возрастает, а поломка (выкрашивание пластины) происходит мгновенно – дискретно.

В статических моделях все входящие в модель параметры имеют постоянные значения и расчетные параметры на выходе системы изменяется одновременно с изменением параметров на входе. Такие модели описывают системы с быстрозатухающими переходными процессами.

Динамические модели учитывают инерционность системы. В результате изменение выходного параметра отстает от изменения входного. Такие модели более точно описывают реальную систему, но сложней в реализации.

Методика получения математической модели

При построении математической модели выделяют следующие типовые шаги:

1) Выбор свойств системы, которые должны получить отражение в модели. Например, для модели обрабатываемости резанием учитывают твердость материала, но во многих случаях пренебрегают теплоемкостью.

2) Сбор исходной информации о выбранных свойствах системы. Например, в зависимости от скорости резания меняются условия работы режущего клина (образование нароста, высокоскоростное фрезерование). Поэтому ММ для расчета силы резания при протягивании и высокоскоростном фрезеровании могут отличаться.

3) Синтез структуры модели. Имеется в виду создание математических соотношений общего вида, без конкретных числовых значений параметров. Наиболее часто определяется либо из физических принципов функционирования системы, либо из вида эмпирических зависимостей. Например, вид зависимости силы резания от S, t, v.

4) Расчет числовых значений параметров. Например, из результатов эксперимента, обработанных по методу наименьших квадратов.

5) Оценка точности и адекватности математической модели, определение области применимости. Заключается, например, в сравнение предсказанных моделью и фактически наблюдаемых результатах.

Требования к математической модели

Основные требования к математическим моделям:

1. Универсальность – применимость ММ к анализу группы однотипных систем.

2. Точность – оценивается степенью совпадения параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью математической модели. Относительная погрешность e расчета выходного параметра yравна:

e = (y^факт – y^мод)/y^факт.

3. Адекватность – способность отражать заданные свойства системы с погрешностью не выше заданной. Адекватность ММ имеет место только в ограниченной области изменения внешних параметров, которая называется областью адекватности математической модели.

4. Важной характеристикой ММ является устойчивость решения. Например, система уравнений

25×X – 36×Y = 1

16×X – 23×Y = –1

имеет решение – X=–59, Y=–41, но изменение значения коэффициентов всего на 0.01 меняет решение качественно:

5. Экономичность – характеризуется затратами ресурсов ЭВМ (времени счета, необходимым требованиям к памяти и т.д.) на реализацию ММ.