Производная сложной функции

Экономический факультет

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

методические указания
для контрольной работы

Нижнекамск

СОДЕРЖАНИЕ

АННОТАЦИЯ................................................................................................. 4

УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ.................. 5

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ......................................................................... 6

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ.......................................................... 11

ЛИТЕРАТУРА............................................................................................... 28

Аннотация

В пособии представлены задания контрольной работы для студентов заочной формы обучения, рассматриваются основные способы и методы решения задач, необходимые для выполнения контрольного задания.

Данное пособие формирует следующие знания, умения и навыки, необходимые для освоения соответствующих компетенций:

Знать: символику математического анализа, необходимые на этапах сбора и анализа данных, которые нужны для решения экономических и социально-экономических задач.

Уметь: решать типовые задачи по основам раздела курса математического анализа, возникающие на этапе сбора и анализа данных, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов.

Владеть: навыками применения аппарата математического анализа для расчета экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов.

Уметь: применять соответствующие дисциплине методы теоретического исследования для решения экономических задач, проводить расчеты с помощью методов математического анализа.

Владеть: методикой применения методов математического анализа для представления и обоснования планов экономической деятельности и результатов работы.

Уметь: осуществлять выбор инструментальных средств математического анализа для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей.

Владеть: навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач.

Уметь: применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования для решения экономических задач, решать дифференциальные уравнения, строить на основе описания ситуаций стандартные экономико-математические модели с использованием понятий предельных и интегральных величин

Владеть: методикой построения, анализа и применения моделей математического анализа для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.

Уметь: выполнять операции математического анализа с помощью современных технических средств и информационных технологий.

Уметь: педагогически грамотно преподнести учебный материал, компетентно анализировать результаты операции над элементами математического анализа; использовать методологию экономического исследования с помощью элементов математического анализа.

Знать: основные понятия математического анализа, позволяющие усовершенствовать учебно-методические разработки.

Уметь: применять терминологию и методы математического анализа для оптимизации изложения и решения экономических задач.

Владеть: навыками использования символики для изложения экономических материалов.

Указания по выполнению контрольной работы

1. Номер варианта контрольной работы соответствует последней цифре номера студенческого билета.

2. В заголовке контрольной работы написать фамилию, имя, отчество, курс, группу, номер студенческого билета, вариант контрольной работы и дату сдачи ее в университет.

3. Решение задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя их номер.

4. Перед решением каждой задачи выписать полностью условие.

5. Решение каждой задачи сопровождать объяснениями и заканчивать ответом.

6. Оформление решений производить аккуратно, с минимальным количеством исправлений. Оставить поля для замечаний проверяющего.

7. Выполненную работу необходимо представить на кафедру Высшей математики не позднее чем за 15 дней до начала сессии.

Контрольные задания

№ 1. Построить график функции (с помощью преобразования графиков основных элементарных функций).

1. y = 2cos ,           2. y = ,        3. y = ½cos2x½,

4. y = sin(x- ),        5. y = cos½x½,          6. y = sin(x- ) + 1,

7. y = 2½x-1½,           8. y = ½1–x²½,          9. y = 2sinx + 3,

0. y = ln½x-1½.

№ 2. Найти предел функции.

1. а) ,     б)              в)

2. ,             б)         в)

3. ,             б) в)

4. ,     б) ,      в)

5. , б) ,             в)

6. ,     б) , в)

7. , б) ,   в)

8. ,   б) ,   в)

9. ,   б) ,    в)

0.       б) в)

№ 3. Вычислить производную функции

1. a) ,           б)

2. a) , ,      б)

3. a) ,          б)

4. a) , ,      б)

5. a) ,                      б)    

6. a) ,                б)

7. a) ,                  б)

8. a) ,        б)

9. a) ,          б)

0. a) ,          б) .

№ 4. Найти пределы, используя правило Лопиталя

1. ,   2. ,  3. ,  4. ,

5. ,        6. , 7. ,

8. , 9. , 0. .

№ 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

[–2, 2] и соответствующие значения аргумента.

1.                          2.

3.           4.

5.                 6.

7.                  8.

9.    0.

№ 6. Исследовать функцию и построить ее график. Проверить график в пакете MS Excel

1. , 2. ,        3. ,

4. ,          5. ,         6. ,

7. ,      8. ,  9. ,

0. .

№ 7. Вычислить приближенно, используя дифференциал функции

1. ;   2. ; 3. ; 4. ; 5. ;

6. ; 7. ; 8. ;     9. ;    0. .

№ 8. Найти неопределенные интегралы:

0.	А)	Б)	В)
1.	А)	Б)	В)
2.	А)	Б)	В)
3.	А)	Б)	В)
4.	А)	Б)	В)
5.	А)	Б)	В)
6.	А)	Б)	В)
7.	А)	Б)	В)
8.	А)	Б)	В)
9.	А)	Б)	В)

№ 9. Найти определенные интегралы:

0.	А)	Б)	В)
1.	А)	Б)	В)
2.	А)	Б)	В)
3.	А)	Б)	В)
4.	А)	Б)	В)
5.	А)	Б)	В)
6.	А)	Б)	В)
7.	А)	Б)	В)
8.	А)	Б)	В)
9.	А)	Б)	В)

10. Найти точки экстремума функции двух переменных:

1. ;

2.;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

0. .

№ 11. Найти эмпирическую формулу методом наименьших квадратов в случае линейной зависимости величин. Изобразить на графике исходные значения и прямую линейного тренда. Можно решить данное задание в MS Excel.

Решение типовых примеров

1. Построить график функции у = –4∙sin2x + 1 (с помощью преобразования графиков основных элементарных функций).

Решение. 1) Сначала построим график функции у = sinx.

                          у

                          1

                          О                        х

        -π -   -1        π

2) Сжатием графика в 2 раза вдоль оси Ох получаем график функции у=sin2x.

                       у         

                              1

                          О                        х

              -π -             π

3) Растянем график у = sin2x вдоль оси Оу в 4 раза и получим график функции у = 4sin2x.

                         у

                   4

                              1

                          О                        х

              -π -             π

                              -4

4) Зеркально отобразив график от оси Ох, получим у = –4sin2x.

                             у

                   4

                              1

                          О                        х

              -π -             π

                                 -4

5) Сдвинем полученный график на 1 единицу вверх параллельно оси Оу. Таким образом график функции у = – 4∙sin2x + 1 имеет вид:

                        у

                     5

                           1         

              π      О       π             х

                                 -3

2. Найти .

Решение. Так как под знаком предела стоит непрерывная в точке х=1 функция, то, используя определение непрерывной функции, имеем:

.

Ответ. .

3. Найти .

Решение. Функция при х=1 не определена («неопределенность типа »), и, следовательно, не является непрерывной в этой точке. Но при всех других значениях х

.

Полученная функция определена и непрерывна в точке х=1, поэтому

= = .

Ответ: .

4. Найти

Решение. Здесь требуется найти предел отношения двух бесконечно больших величин. О таком пределе заранее ничего определенного сказать нельзя («неопределенность типа »). Преобразуем функцию под знаком предела, вынося за скобки х в старшей степени, и используем свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин. Тогда имеем:

= = = = 0.

Ответ: 0.

5. Найти .

Решение. Такого типа примеры решаются переводом иррациональности из числителя в знаменатель и, наоборот, из знаменателя в числитель. Здесь мы имеем предел разности двух положительных бесконечно больших величин («неопределенность типа [¥–¥]»). От этой неопределенности избавимся, дополнив функцию  до разности квадратов:

=  =  = .

Следовательно, =

Ответ: 0.

6. Найти .

Решение. Так как  (первый замечательный предел), то .

Следовательно, =

Ответ: .

7. Найти .

Решение. Так как х→p, а не к 0, то применить сразу первый замечательный предел нельзя. Поэтому произведем замену переменной:
p–х = у, откуда х = p–у. Тогда при х→p у→0, используя то, что  

= = .

Ответ: .

8. Найти .

Решение. Выделим у дроби целую часть:

.

Чтобы использовать второй замечательный предел  (или ), обозначим . Тогда при х→∞ у→0, причем . Т.о.

Ответ: .

9. Найти производную функции:

а) у = х + 2;        б) y = (2x – 3)(3x + 2);      в) у = ;

г) у =         д) у =(x³ – 2x² + 5)⁶;         е) ;

ж) ;   з) y = tg(3x² – 1);               и) .

Справочный материал

Правила дифференцирования:

1) с’ = 0;

2) x’ = 1;

3) (u + v)’ = u’ + v’;

4) (c∙u)’ = c∙u’;

5) (u∙v)’ = u’∙v + u∙v’;

6) (u∙v∙w)’ = u’∙v∙w + u∙v’∙w + u∙v∙w’;

7) .

Производная сложной функции

Если у есть функция от и: у = f(u), где и в свою очередь есть функция от аргумента х: u = φ(x), т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент и, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции): y = f(φ(x)).

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:

y’_x = y’_u u’_x

Таблица производных:

№	Функция у	Производная у’
1	С	0
2	x	1
3	un	n∙un-1∙ u’
4
5
6	eu	eu∙u’
7	au	au∙ln a∙u’
8	ln u
9	loga u
10	sin u	cos u∙u’
11	cos u	– sin u∙u’
12	tg u
13	ctg u
14	arcsin u
15	arcos u	–
16	arctg u
17	arcctg u	–

Решение. а) у = х + 2

Используя правило дифференцирования (3) и формулы (1), (2), имеем:

у' = (x + 2)’ = (x)’ + (2)’ = 1 + 0 = 1.

б). y = (2x – 3)(3x + 2)

y’ = ((2x – 3)(3x + 2))’ = (2x – 3)’∙(3x + 2) + (2x – 3)∙(3x + 2)’ = 2∙(3x + 2) + (2x – 3)∙3 = 12x – 5. Здесь мы использовали правило дифференцирования (5).

в) у =

Используя правило дифференцирования (7), имеем

у’ = = .

г) у =

Найдем производную, используя правило дифференцирования (4) и формулу (3).

у' = .

д) у =(x³ – 2x² + 5)⁶

Пусть x³ – 2x² + 5 = и, тогда у = и⁶. По формуле (3), получим у’ = (и⁶)’ = 6u⁵∙u’= 6(x³ – 2x² + 5)⁵∙(x³ – 2x² + 5)’ = 6(x³ – 2x² + 5)⁵∙(3x² – 4x).

е)

По правилу дифференцирования (7) и формуле (10) получим:

= .

ж)

Используя формулы (4) и (10), имеем:

.

з) y = tg(3x² – 1).

По формуле (12) имеем:

y' = (tg(3x² – 1))’ = .

и) .

По формуле (8), а также (3), (4), (5) имеем:

=

= .

10. Найти предел, используя правило Лопиталя: .

Решение. Имеем неопределенность вида . Применяя правило Лопиталя (если имеется неопределенность вида  или , то ), получим:

= . Неопределенность вида  по-прежнему сохраняется. Применим правило еще раз:

= .

Ответ: 1.

11.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х³ – 12х на отрезке [0, 5].

Решение. Сначала найдем производную функции: у’ = 3х² – 12.

Затем найдем критические точки, т.е. точки, в которых у’ = 0 или не существует: 3х² – 12 = 0, откуда критические точки х₁ = –2, х₂ = 2. Точка х₁ = –2 не принадлежит отрезку [0, 5], поэтому мы исключаем ее из рассмотрения.

Вычислим значения функции в критической точке х₂ = 2 и на концах интервала и выберем из них наибольшее и наименьшее: у(2) = – 16, у(0) = 0, у(5) = 65.

Ответ: Т.о. наибольшее значение функции на отрезке [0, 5] равно 65, наименьшее равно –16.

12. Исследовать функцию у =  и построить ее график.

Решение. а) Найдем область определения функции.

Областью определения этой функции является вся действительная ось, за исключением двух точек х₁ = –2 и х₂ = 2, в которых имеет место разрыв (знаменатель х² – 4 = 0). Т.о. область определения: (-∞; -2)U(-2; 2)U(2; +∞)

б) Исследуем функцию на четность-нечетность.

Функция четная, т.к. у(-х) =  = у(х). Четность функции определяет симметрию ее графика относительно оси Оу.

в) Найдем вертикальные асимптоты графика функции.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на границе ее области определения. Точками разрыва являются х₁ = –2 и х₂ = 2.

Вычислим пределы функции в окрестностях этих точек.

Предел слева , предел справа .

Аналогично , .

Следовательно, прямые х = –2 и х = 2 являются вертикальными асимптотами функции.

г) Найдем горизонтальные или наклонные асимптоты графика функции.

Для этого вычислим пределы:  и . Откуда (по формуле y = kx +b) заключаем, что уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид: y = 0x +1, т.е. у = 1.

д) Найдем экстремумы и интервалы монотонности.

Производная заданной функции у’ =  равна нулю (у’ = 0) при х=0 и не существует при х = ±2. Но критической является только точка х=0 (т.к. значения х = ±2 не входят в область определения функции). Поскольку при x < 0 f’(x) > 0, а при x > 0 f’(x) < 0, то х=0 – точка максимума функции и f_mах(x)= = – 1.

На интервалах (-∞; -2) и (-2; 0) y'  +             –

функция возрастает , на интервалах           -2  0   2          x

(0; 2) и (2; +∞) –. убывает                   y

е) Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба.

Для этого надо найти вторую производную функции у’’ = . Видно, что уравнение у’’ = 0 не имеет действительных корней, и это исключает существование у графика точек перегиба. Вместе с тем по корням знаменателя (-2 и 2) можно установить, что при переходе через эти значения х знаки у’’ меняются.

На интервалах (-∞; -2) и (2; +∞) y” +         –        +

функция выпукла вниз, на интервале         -2        2          x

(-2; 2) – выпукла вверх.                               y

ж) Найдем точки пересечения с осями координат.

f(0) =  = – 1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0; -1). Уравнение f(х) = 0, (т.е. = 0), решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.

На основании полученных данных построим график заданной функции.

                                                  у

                                                     1

                                           -2               2         х

                                                     -1

13. Найти неопределенный интеграл:

а) ; б) ; в) ; г) .

Справочный материал

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если (F(x))’=f(x).

Первообразная определена неоднозначно: если F(x) – первообразная для функции f(x), то F(x)+C – также первообразная для данной функции.

Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается , где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная (С = const),  - знак операции интегрирования, d – знак операции дифференцирования.

Свойства неопределенного интеграла:

1. , где с = const.

2. .

3. .

Таблица 1 (неопределенных интегралов)