VI. Вычислить криволинейный интеграл.

I. Найти неопределенные интегралы.

1. а) ,                                б)

в)                                             г)

2. а) ,                б)

       в)                                             г)

3. а) ,                       б)  

       в)                                                       г)

4. а) ,                               б)     

       в)                                                       г)

5. а) ,                          б)

       в)                                                       г)

6. а) ,                               б)     

       в)                                                       г)

7. а) ,                          б)  

       в)                                                 г)

8. а) ,                           б)  

       в)                                                             г)

9. а) ,                             б)          

       в)                                                       г)

10. а) ,                     б)

       в)                                                             г)

11. а) ,                                            б)     

       в)                                               г)

12. а) ,                                          б)   

       в)                                                    г)

13. а)                                                   б)  

       в)                                                  г)

14. а) ,                                                       б)

       в)                                                  г)

15. а) ,                                                       б)  

       в)                                               г)

16. а) ,                                         б)  

       в)                                                  г)

17. а) ,                                              б)

       в)                                             г)

18. а) ,                                                   б)     

       в)                                               г)

19. а) ,                                              б)           

       в) ,                                                       г)

20. а) ,                                          б)     

       в)                                                  г)

II. а) Вычислить определенный интеграл.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Б) Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

III. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; (I четверть); 17. 18. ; 19. ; 20. .

IV. Решить задачи:

1. Какую работу совершает сила в 10 Н при растяжении пружины на 2 см?

2. Какую работу надо затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила в 1 Н растягивает ее на 0,01 м?

3. Для сжатия пружины на 3 см необходимо совершить работу в 16 Дж. На какую длину можно сжать пружину, совершив работу в 144 Дж?

4. Вычислите силу давления воды на одну из стенок аквариума, имеющего длину 30 см и высоту 20 см.

5. Вычислите силу давления воды на погруженную в нее вертикальную пластину, имеющую форму треугольника с основанием 6 м и высотой 2 м, предполагая, что вершина этого треугольника лежит на свободной поверхности воды, а основание параллельно ей.

6. Сила в 6 Н растягивает пружину на 2 см. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 6 см?

7. Найти давление воды, находящейся в цилиндрическом баке высотой  м и радиусом  м, на его стенки.

8. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением . Вычислите её путь от начала движения до остановки.

9. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением . Вычислите её путь за 3 секунды.

10. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением . Вычислите её путь за четвертую секунду.

Найти объем тела, полученного вращением фигур, ограниченных линиями вокруг указанной оси:

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. .

V. Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам.

1. , где область D ограничена окружностью .

2. , где область D ограничена линиями , .

3. , где область D ограничена окружностью .

4. , где область D ограничена окружностью .

5. , где область D ограничена линиями , .

6. , где область D ограничена окружностью .

7. , где область D ограничена окружностями , .

8. , если область D ограничена линиями , .

9. , если область D ограничена линиями , .

10. , где область D ограничена линиями

11. , где область D – круг .

12. , где область D заключена между линиями , .

13. , где область D заключена между окружностями , .

14. , если область D ограничена линиями , , .

15. , где область D ограничена линией .

16. , где область D – первая четверть круга .

17. , где область D ограничена линией , .

18. , где область D ограничена линиями , .

19. , где D – первая четверть круга радиуса   с центром в начале координат.

20. .

VI. Вычислить криволинейный интеграл.

1. , где L – окружность , , пробегаемая в положительном направлении.

2. где L – ломанная  от точки А(-1;1) до точки B(2,2).

3. , где L – дуга параболы  от точки А(1;2) до точки B(2;8).

4. , где L – контур треугольника с вершинами (указанными в порядке обхода) в точках А(1;2), В(1;5), С(0;5).

5. , где L – дуга первой арки циклоиды , .

6. , где L – отрезок, соединяющий точки А(1;1) и В(3;5).

7. , где L – четверть астроиды ,  ( ).

8. , где L – отрезок, соединяющий точки А(1;2) и В(2;4).

9. , где L – контур треугольника с вершинами А(-1;0), В(1;0), С(0;1), пробегаемый в положительном направлении.

10. , где L – дуга параболы  от точки А(0;0) до точки В(1;2).

11. , где L – дуга линии  от точки А(1;0) до точки В(e;1).

12. , где L – дуга экспоненты  от точки А(0;1) до точки В(1;e)

13. , где L – верхняя полуокружность , , пробегаемая в положительном направлении.

14. , где L – дуга экспоненты  от точки А(0;1) до точки В(-1;e).

15. , где L – отрезок прямой от точки А(1;2) до точки В(3;6).

16. , вдоль ломанной АВС, где А(0;1), В(1;1), С(1;2).

17. , где L – дуга параболы  от точки А(1;1) до точки В(2;4).

18. , где L – дуга окружности ,  от  до .

19. вдоль отрезка, соединяющего указанные точки.

20. вдоль ломаной АВС, где А(2;1), В(2;2), С(1;2).