Идеальный газ и его свойства

ЗАДАЧИ ПО ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКЕ

Тема 1.1 Параметры состояния

Задача 1

В сосуде объемом V= 1,4 м3 находитсяm = 2,4 кг воздуха.Определить его удельный объем о и плотность .

Решение

Удельный объем воздуха составляет

υ= =  = 0,583м3/кг

Плотность воздуха равна

= = = 1,714 кг/м3.

Ответ: υ = 0,583 м3/кг;  = 1,714 кг/м3.

Задача 2

Избыточное давление в паровом котле измеряется пружинным манометром и составляет р_и = 9800 кПа. Барометрическое давление по ртутному барометру составляет р_бар⁰ = 770 мм.рт.ст. при температуре 0°С.

Определить абсолютное давление пара в котле р в кПа, Па, МПа, барах.

Решение

Барометрическое давление, выраженное в Па, составляет [1]

Р_бар⁰ = 770*133,322 = 102658 Па,

или

Р_бар⁰₌

Абсолютное давление пара в котле равно

р =р_и +р_бар° = 9800 + 102,7 = 9902,7 кПа,

или

р = 9902,7*10³ = 9902700 Па,

или

р =  = 9,9 МПа,

или

р = = 99 бар,

Ответ: 9902,7 кПа; 9902700 Па; 9,9 МПа; 99 бар.

Задача 3

Избыточное давление в сосуде, измеряемое пружинным манометром p = 1,0 МПа. Атмосферное давление но ртутному барометру при t= 20°Ссоставляет p_бар° = 760 мм.рт.ст.

Определить абсолютное давление в сосуде в МПа, Па, барах.

Решение

Приведем показания ртутного барометра к 0°С по формуле [1, с. 7]

р_бар°=Р_бар²⁰(1-0,000172t).

Подставив численные значения, получим:

р_бар° = 760 (1 - 0,000172*20) = 757,4 мм.рт.ст.

Барометрическое давление, выраженное в Па, составляет [1]

р_бар° = 757,4*133,322 = 100976 Па,

или

р_бар°=  0,101 МПа

Абсолютное давление в сосуде равно

р = р_и + р_бар° = 1,0 + 0,101 = 1,101 МПа,

или

р= 1,101*10⁶ Па,

или

р= 11,01 бар

Ответ: 1,101 МПа; 1,101*10⁶ Па; 11,01 бар.

Задача 4

Ртутный вакуумметр, присоединенный к конденсатору паровой турбины, Показывает разрежение р_в⁴⁰= 300 мм.рт.ст. при температуре t₁ = 40°С. Атмосферное давление по ртутному барометру p_бар²⁰ =750 мм.рт.ст. при t₂ = 20°С.

Определить абсолютное давление р в конденсаторе в мм.рт.ст., Па, барах.

Решение

Приведем показания ртутных приборов к 0°С по формуле [1, с. 7]

p⁰=p^t(1 -0,000172t).

Подставив численные значения, получим:

-ртутный вакуумметр

р_в⁰ = 300* (1 - 0,000172*40) = 297,9 мм.рт.ст.;

-ртутный барометр

p_бар⁰ = 750*(1 - 0,000172*20) = 747,4 мм.рт.ст.

Абсолютное давление в конденсаторе равно

p=p_бар⁰ - р_в⁰ = 747,4 - 297,9 = 449,5 мм.рт.ст.,

или

р = 449,5*133,322 = 59928 Па,

или

р = 0,599 бар.

Ответ: 449,5 мм.рт.ст.; 59928 Па; 0,599 бар.

Закон сохранения энергии

Задача 5

Сколько килограммов свинца m_с можно нагреть от температуры t₁ = 30°С до температуры плавления t₂ = 327 °С посредством удара молотом массой m_м = 250 кг при падении его с высоты h_м = 3 м? Предполагается, что вся энергия падения молота превращается в теплоту, которая поглощается свинцом. Теплоемкость свинца с_р = 0,1256 кДж/(кг*К).

Решение

Энергия падения молота составляет

Э = m_мgh_м = 250*9,81*3 = 7357,5 Дж.

По условиям эта энергия полностью превращается в теплоту, т.е.

Q = Э = 7357,5 Дж.

Массу свинца, которую можно нагреть этим количеством теплоты, определим из уравнения теплового баланса

m_с= 0,197 кг,

или

m_с = 197 г.

Ответ: 197 г.

Задача 6

Современная паротурбинная электростанция мощностью N = 600 МВт работает в году τ= 320 суток с КПД η = 0,34. Теплота сгорания топлива = 29000 кДж/кг.

Определить су точный В_сут и годовой В_г расходы топлива.

Решение

Суточный расход топлива составляет

В_сут =  =  = 16,43 т/сут

Годовой расход топлива равен

В_г = B_сут = 16,43*320 = 5257,6 т/год.

Ответ: 16,43 т/сут.; 5257,6 т/год.

Задача 7

Определить годовой расход ядерного горючего на АЭС той же мощности, что и  в предыдущей задаче, если 1 кг урана при расщеплении выделяет ( )^я= 825*10⁸ кДж/кгтеплоты.

Решение

Годовой расход ядерного горючего на АЭС составляет

В_сут =  =  = 1,85 кг/сут.

Ответ: 1,85 кг/сут.

Задача 8

При испытании двигателей для определения мощности необходимо их тормозить гидротормозом. При этом работа, произведенная двигателем, расходуется на преодоление сил трения и превращается в теплоту, часть которой (примерно 20 %) рассеивается в окружающей среде, а остальная часть отводится с охлаждающей тормоз водой

Сколько воды необходимо подводить к тормозу G_вза 1 час, если крутящим момент на валу М_кр = 150Дж, частота вращения n= 2500 об/мин, адопустимое повышение температуры воды Δt = 45 К.   Теплоемкость  воды с_р = 4,19 кДж/(кг*К)

Решение

Мощность на валу двигателя  определим по формуле

N=  = 39270 Вт

Количества тепла отводимого водой составляет

Q=0,8*N=0,8*39270=31416 Вт

Часовой расход воды на охлаждения тормоза определим из уравнениятеплового баланса

G_в= =  = 0,167 кг/с

или

G_в = 3600*0,167  600 кг/ч.

Ответ: 600 кг/ч.

Идеальный газ и его свойства

Задача 9

Определить среднюю изохорную теплоемкость с_υдиоксида серы (SO₂) в интервале температур t₁= 150 °С и t₂ = 900°С, пользуясь таблицами средних теплоемкостей.

Решение

Среднюю изохорную теплоемкость S02 в рабочем интервале температур, определим по формуле [2]

 =

где  = 0,520 кДж/(кг-К) - средняя изохорная теплоемкости SO₂ в

интервалах температур от 0 до 150°С [2, табл. VI];  = 0,645 кДж/(кг*К) - средняя изохорная теплоемкость SO₂ в интервалах температур от 0 до 900°С [2, табл. VI].

Подставив численные значения, получим.

 =  = 0,67 кДж/(кг*К)

Ответ: 0,67 кДж/(кг*К).

Задача 10

Определить теплоту, подведенную к азоту (N₂) при p = const, если его температура изменяется от t₁ = 600^oС доt₂= 850°С

а) Масса газаm = 1,6 кг

б) Объем газа при температуре t₁ = 600^oС равен V₁ = 3,5 м³.

Решение

Среднюю изобарную теплоемкость N₂, в рабочем интервале температур определим по формуле [2],

с_р.ср=  ,

где  = 1,0760 кДж/(кг*К) - средняя изобарная теплоемкости N₂ винтервалах температур от 0 до 600°С [2, табл. V];  = 1,1026 кДж/(кг*К) - средняя изохорная теплоемкость N₂ в интервалах температур от 0 до 850°С [2, табл. V].

Подставив численные значения, получим:

= = 1,1664 кДж/(кг-К).

Теплоту, подводимую в изобарном процессе к N₂по пункту а) определим по формуле [2]

Q = mс_р.ср( ).                               (1)

Подставив численные значения, получим:

Q= 1,6 *1,1664 (850-600) =466,6кДж.

Для определения массы газа по пункту б) найдем:

-объем газа V₂ при температуре  = 850°С по закону Гей-Люссака[2]

= ,                                         (2)

=  = 3,5*  = 4,50 м³

-газовую постоянную для азота

=  =  = 296,9 Дж/(кг*К)

где μ= 28 кг/кмоль - мольная масса газа;

- давление водяного пара, используя выражения для работы расширения в изобарном процессе

= = = 74225 Па;

- массу водяною пара в процессе из уравнения состояния идеального газа

= = = 1 кг

Теплота, подводимая к N₂ по пункту б), по формуле (1) составляет

Q= 1,1664*(850-600) = 291,6кДж.

Ответ: а) 466,6 кДж; б) 291,6 кДж.

Задача 11

Газовая смесь состоит из m_N2 = 5 кг, азота, m_со2= 4 кг углекислого газа = 1 кг окиси углерода. Начальные параметры смеси р₁ = 1 МПаиt₁= 57 °С. В процессе T= const смесь расширяется до давления p₂ = 0,5 МПа.

Определить:

-работу расширения смеси L;

-количество подведенной теплоты Q;

-объем в конце расширения V₂;

-парциальные давления газов в начальном состоянии;

-изменение внутренней энергии U и энтальпии H смеси;

-построить процесс в р-υи T-s диаграммах.

Решение

Объемную концентрацию компонентов газовой смеси определим обшей формуле [2]

=

где  - молекулярная масса компонента, кг/кмоль.

В нашем случае имеем:

= 28 кг/кмоль;  = 44 кг/кмоль;  = 28 кг/кмоль.

Подставив численные значения, получим.

= *100= 58,5%,

= *100= 29,8%,

= *100= 11,7%,

Проверка

= 100%,

58,5 + 29,8 + 11,7 = 100%.

Средняя молекулярная масса смеси составляет:

= ,=  = 32,8 кг/кмоль

Газовая постоянная смеси равна [2]

=  =  = 253,7Дж/(кг*К)

Абсолютная температура изотермического процесса расширения газовойсмеси

Т = T₁ = Т₂ = t₁ + 273 = 57 + 273 = 330 К.

Масса газовой смеси равна

m_см = = 5 + 4 +1 = 10 кг.

Работа изотермического расширения газовой смеси составляет

L = m_смR_смТ₁ln  = ln  = 580,3 кДж.

В процессе изотермического расширения газовой смеси количество подведенной теплоты в соответствии с первым законом термодинамики равно

Q = L = 580,3 кДж.

Объем газовой смеси в начале изотермического процесса расширения из уравнения состояния идеального газа составляет

=  =

Объем газовой смеси в конце изотермического процесса расширения по закону Бойля - Мариотта [2] равен

= ,

=  = 0,837*  = 1,674м³

Парциальные давления составляющих газовой смеси в начальном состоянии определим по формуле [2]

p_1i=r_ip_i

Подставив численные значения, получим:

p_N2=

p_CO2 =

p_CO =

Изменение внутренней энергии U и энтальпии Hгазовой смеси в изотермическом процессе соответственно равны

U= 0,

H=0.

Рисунок 1- p-υ диаграмма расширения газа при T = const

Рисунок 2- T-sдиаграмма расширения газа при T = const

Задача 12

Сосуд вместимостью V₁=400 л содержит кислород (О₂) при абсолютном давлении р₁= 1 МПа и температуре = 37°С.

Определить:

- массу газа;

- конечную температуру, изменение энтропии и количество теплоты, которое необходимо подвести, чтобы повысить давление в процессе при постоянном объеме (υ = const) до p₂ = 2 МПа;

- изменение внутренней энергии и энтальпии газа;

- построить процесс в p-υ иT-sдиаграммах.

Удельную теплоемкость принять переменной.

Решение

Газовая постоянная кислорода равна [2]

=  =  = 260Дж/(кг*К)

где μ = 32 кг/кмоль - мольная масса кислорода.

Абсолютная температура кислорода в начальный момент равна

Т₁ = t₁ + 273 = 37 + 273 = 310 К.

Масса кислорода в сосуде из уравнения состояния идеального газа составляет

4,96 кг.

Конечную температуру кислорода в процессе изохорного повышения давления до р₂= 2 МПа определим по закону Шарля [2]

= ,

=  = 310*  = 620 К,

t₂ = 620 - 273 = 347 °С.

Среднюю изохорную теплоемкостьO₂ в рабочем интервале температур, определим по формуле [2]

 =                              (1)

где  =  - средняя изобарная теплоемкости O₂ в интервалах температур от 0 до 37°С;  = - средняя изохорная теплоемкость O₂ в интервалах температур от 0 до 347°С

Средние изохорные теплоемкости O₂ в интервалах температур от 0 до соответствующей рабочей температуре определим используя справочные данные [2, табл. VI]

-интервал от 0 до 37°С

 0,6579 кДж/(кг*К);

-интервал от 0 до 347°С

 0,6971 кДж/(кг*К);

Подставив численные значения в формулу (1), получим:

 0,7018 кДж/(кг*К);

Изменение энтропии в изохорическом процессе составляет

Количество теплоты, которое необходимо подвести, чтобы повысить давление в процессе при постоянном объеме (υ= const) до p₂=2 МПа равно

Изменение внутренней энергии в изохорическом процессе в соответствии с Первым законом термодинамики равно количествуподведенной теплоты

U = = 1079,1 кДж.

Средняя изобарная теплоемкость O₂ в рабочем интервале температур поформуле Майера составляет [2]

c_p=c_υ + R = 0,7018 + 0,260 = 0,9618 кДж/(кг*К).

Изменение энтальпии газа в изохорическом процессе равно

H = = 4,96*0,9618*(620-310)= 1478,9 кДж.

Рисунок 3 - p-υ диаграмма газа при υ=const

Рисунок 4- T-sдиаграмма газа при υ=const

Задача 13

В цилиндре двигателя объемом V₁=350 л находится газ со свойствами воздуха при абсолютном давлениир₁= 2,5 МПа и температуре t₁= 1500°С. От воздуха отводится теплота при постоянном давлении (р = const) до температуры t₂= 400°С.

Определить:

- массу воздуха;

- конечный объем;

- изменение внутренней энергии;

- количество отнятой теплоты;

- изменение энтальпии;

- работу сжатия;

- изменение энтропии;

- построить процесс в р-ь и T-s диаграммах.

Теплоемкость считать переменной.

Решение

Газовая постоянная воздуха равна [2]

=  =  = 287Дж/(кг*К)

где μ = 29 кг/кмоль - мольная масса воздуха.

Абсолютная температура воздуха

T₁ = t₁ + 273 = 1500 + 273 = 1773 К,

T₂ = t₂+ 273 = 400 + 273 = 673 К.

Масса воздуха в цилиндре из уравнения состояния идеального газа

составляет

1,72 кг.

Конечный объем воздуха в процессе изобарического отвода тепла определим по закону Гей-Люссака [2]

= ,                                                   (1)

=  = 0,35*  = 0,1329м³

Среднюю изохорную теплоемкость воздуха в рабочем интервале температур, определим но формуле [2]

 =                              (2)

где  = 0,8441 кДж/(кг*К)  - средняя изобарная теплоемкости воздуха в интервалах температур от 0 до 1500°С;  = 0,7415 кДж/(кг*К) - средняя изохорная теплоемкость воздуха в интервалах температур от 0 до 400°С

Подставив численные значения в формулу (2), получим:

 0,8814 кДж/(кг*К);

Изменение внутренней энергии в изобарическом процессе отвода тепла от воздуха в цилиндре двигателя составляет

U = = 1,72*0,8814*(400-1500)=  -1667,6 кДж.

Средняя изобарная теплоемкость воздуха в рабочем интервале температур по формуле Майера [2] равна

c_p=c_υ + R = 0,8814 + 0,287 = 1,16848 кДж/(кг*К).

Количество отнятой теплоты в изобарном процессе составляет

Q = = 1,72-1,1684 (400 - 1500) = -2210,3 кДж.

Изменение энтальпии воздуха при изобарном отводе тепла в цилиндре двигателя равно

H = Q = -2210,3 кДж.

Работа сжатия в процессе изобарного отвода тепла составляет

L = = 2,5*10⁶*(0,1329 - 0,35)/1000 = -542,7 кДж.

Проверим по первому закону термодинамики

Q = U + L,

-2210,3 =(-1667,6) + (-542,7).

Изменение энтропии в процессе изобарического отвода тепла составляет

Рисунок 5 - p-υ диаграмма газа при p =const

Рисунок 6 -T-sдиаграмма газа при p =const

Задача 14

В компрессор ГTУ входит m = 6,5 кг воздуха с начальными параметрами р₁ = 0,12 МПа и t₁= 27 °С. Воздух сжимается адиабатно дор₂= 1,2 МПа.

Определить:

- начальный и конечный объемы;

- конечную температуру;

- работу сжатия;

- располагаемую работу сжатия;

- изменение внутренней энергии, энтальпии и энтропии;

- построить процесс в р-м и T-s диаграммах.

Теплоемкость принять постоянной.

Решение

Газовая постоянная воздуха равна [2]

=  =  = 287 Дж/(кг*К)

где μ = 29 кг/кмоль - мольная масса воздуха.

Абсолютная температура воздуха

T₁ = t₁ + 273 = 27 + 273 = 300 К.

Начальный объем воздуха из уравнения состояния идеального газа

составляет

= = 4,66м³

Конечный объем воздуха определим из соотношения

= ,                                   (1)

где k= 1,4 - показатель адиабаты для воздуха, как двухатомного газа [2].

Решая (1), получим конечный объем воздуха.

=  = 4,66* 0,9 м³

Конечная температура воздуха из уравнения состояния идеального газасоставляет

579 К

Работа адиабатического сжатия воздуха в ГТУ составляет

L = =  = -1301 кДж.

Изохорную теплоемкость воздуха определим по формуле [2]

C_υ= 717,5 Дж/(кг*К).

Изменение внутренней энергии в адиабатном процессе равно

U = = 6,5*0,7175*(579-300)= 1301 кДж.

Проверим по первому закону термодинамики для адиабатного процесса(Q= 0)

Q = U + L,

0 =1301 - 1301.

Изобарную теплоемкость воздуха определим по формуле

c_p =  1004.5 Дж/(кг*К).

Изменение энтальпии в адиабатном процессе составляет

H = = 6,5*1,0045*(579-300)= 1822 кДж.

Располагаемая работа сжатия для адиабатического процесса равна

L_расп= - H= -1822 кДж.

Изменение энтропии для адиабатического процесса составляет

S = 0.

Рисунок 8- T-sдиаграмма адиабатного сжатия в ГТУ (q=0)

Задача 15

Определить теоретическую работу на привододноступенчатого и 4-ступенчатого с промежуточным охлаждениемкомпрессоровпри сжатии воздуха от давления р₁ = 0,1 МПа до р₂= 8, 1 МП, если начальная температура t₁ = 17 °С Показатель политропы для всех ступеней принять равнымиn=1,22. Начальный объем таза V₁ = 1000 м³    

Сравнить величину работы одно- и 4-ступенчатото сжатия Определить температуры в конце сжатия.

Построить процесс вp-υ иT-sдиаграммах.

Решение

Теоретическую работу на привод одноступенчатого компрессора при политропическом сжатии определим по формуле [2]

L =                         (1)

Подставив численные значения, получим:

L = = 6,7*10⁸Дж

Степень увеличения давления в каждой ступени 4-ступенчатого компрессора равна [2]

x=

Теоретическую работу на привод одной ступени 4-ступенчатого компрессора при политропическом сжатии определим по формуле [2]

L₁ =                         (2)

Подставив численные значения, получим.

L = = 1,215*10⁸Дж

Для 4-ступенчатого компрессора имеем

L=4*L₁=4*1,215*10⁸=4,86*10⁸Дж.

Как видно, теоретическая работа на привод 4-ступенчатого компрессора меньше теоретической работы на привод одноступенчатого компрессора в

1,38 раза.

Абсолютная температура воздуха

Т₁= t₁ + 273 = 17 + 273 = 290 К.

Температуру в конце политропического сжатия в одноступенчатом компрессоре определим из соотношения [2]

= ,                    (3)

T₂= =641 K

Температура в конце политропического сжатия каждой ступени 4-ступенчатого компрессора составляет

T₂= =354 K

Рисунок 9- Одноступенчатое сжатие

Рисунок 10- 4-ступенчатое сжатие