Геометрия Лобачевского. Интересные факты геометрии плоскости Лобачевского.

Исторические сведения о возникновении геометрии Лобачевского. Система аксиом геометрии Лобачевского. Непротиворечивость и полнота системы аксиом. Примеры доказательств некоторых теорем плоскости Лобачевского.

Более двух тысяч лет система Евклида считалась непреложной. Но в 1826 г. гениальный русский ученый Н. И. Лобачевский создал новую геометрическую систему. Исходные ее положения отличаются от основных положений Евклида лишь в одном пункте. Но отсюда вытекает множество очень существенных особенностей.

Так, в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше, чем 180° (в геометрии Евклида она равна 180°). При этом недостаток до 180° тем больше, чем больше площадь треугольника. Может показаться, что опыт опровергает этот и другие выводы Лобачевского. Но это не так. Непосредственно измеряя углы треугольника, мы находим, что они в сумме составляют примерно 180°. Точной же величины суммы мы не можем найти вследствие несовершенства измерительных инструментов. Между тем все те треугольники, которые доступны нашему измерению, слишком малы, чтобы непосредственными измерениями обнаружить недостаток суммы углов до 180°.

При дальнейшем развитии гениальных идей Лобачевского оказалось, что система Евклида недостаточна для исследования многих вопросов астрономии и физики, где мы имеем дело с фигурами огромных размеров. Однако в условиях обычного опыта она остается вполне пригодной. А так как к тому же она обладает преимуществом простоты, то ее применяют и будут применять в технических расчетах, ее изучают и будут изучать в школах.

 Система аксиом геометрии Лобачевского

Схема аксиоматического построения геометрии выглядит следующим образом.

1. Рассматривается множество элементов произвольной природы, которые как-то условно называют и обозначают. Далее также условно обозначают операции и отношения между элементами этого множества.

2. Даётся список аксиом, выражающих свойства основных отношений или операций.

3. Даются определения остальных понятий и путём логических рассуждений выводятся теоремы.

Система аксиом геометрии Лобачевского включает в себя: восемь аксиом связи, четыре аксиомы порядка, пять аксиом конгруэнтности, аксиому непрерывности и аксиому Лобачевского.

Основные объекты: точка, прямая, плоскость.

Основные отношения: „принадлежать", „лежать между", „быть конгруэнтными”.

Аксиомы связи

• Каковы бы ни были две точки, существует прямая, проходящая через эти две точки.
• Каковы бы ни были две точки, существует не более одной прямой, проходящей через эти две точки.
• На каждой прямой лежат две точки. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
• Каковы бы ни были три точки, существует плоскость, их содержащая. На каждой плоскости есть хотя бы одна точка.
• Для любых трёх точек, не лежащих на одной прямой, существует не более одной плоскости, содержащей эти три точки.
• Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
• Если две плоскости имеют общую точку, то существует, по крайне мере, ещё одна общая точка.
• Существуют, по крайне мере, четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Аксиомы порядка

• Если имеет место ABC (точка В лежит между точками А и С), то А, В, С - три различные точки, лежащие на одной прямой, и имеет место СBA.
• Для любых двух точек А и В существует, по крайне мере, одна точка С такая, что имеет место АВС.
• Из любых трёх точек, лежащих на прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.
• (Аксиома Паша). Пусть даны три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, и прямая а, не проходящая ни через одну из этих точек. Если на прямой а есть точка, лежащая между точками А и В, то на прямой а есть точка, лежащая либо между В и С, либо между А и С.

Определение. Отрезком АВ назовём множество всех точек С, лежащих между А и В, и сами эти точки.

Обозначение. [AB] - отрезок АВ.

Определение. Лучом ОА назовём множество всех точек Х, что имеет место .

Обозначение. [ОА) - луч ОА.

Аксиомы конгруэнтности

· Дан отрезок UV и луч Аа. Тогда существует точка В [Aa) такая, что [AB] [UV] и [AB] [BA].

· Если [AB] [UV], [CD] [UV], то [AB] [CD].

· Если имеет место АВС и и [AB] [],[BC] [], то [AC] [].

Определение. Углом назовём совокупность двух лучей с общим началом.

Определение. Треугольником АВС назовём совокупность отрезков АВ, ВС, СА.

. Дан угол (u,v) и луч Аа с заданной полуплоскостью, тогда в указанной полуплоскости существует единственный луч [Ab) такой, что (а,b) (u,v) и всякий угол конгруэнтен самому себе.

. Пусть дан АВС и, [AB] [AB], [AC] [AC], . Тогда.

Аксиома непрерывности

IV. Пусть все точки прямой разбиты на два класса так, что выполняются условия:

1. Оба класса не пусты.

2. Каждая точка прямой отнесена к одному и только одному из классов.

3. Каждый класс есть выпуклое множество.

Тогда в одном из классов существует граничная точка, т.е. такая точка, которая не лежит между двумя точками одного и того же класса.

Аксиома Лобачевского

V. Через точку, взятую вне прямой, в плоскости, определяемой этой прямой и точкой, можно провести по крайне мере две прямые, не пересекающие данную прямую.

В связи с аксиоматическим построением теории возникают следующие три вопроса является ли данная система аксиом:

1) непротиворечивой,

2) независимой,

3) полной.

Система аксиом называется непротиворечивой, если из неё нельзя получить путём логических рассуждений двух взаимно исключающих утверждений a и .

Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом системы S нельзя вывести из остальных.

Система аксиом называется полной, если с помощью её можно доказать или опровергнуть любое предложение, сформулированное в терминах этой аксиоматики.

Исследование аксиоматики по этим трём вопросам связано с построением модели (реализации, интерпретации).

Построить или задать интерпретацию (модель) системы аксиом S - это значит:

1. Задать конкретное множество элементов произвольной природы, условно именуемых точками, прямыми, плоскостями;

2. Так определить отношения между элементами, условно выражаемые словами „принадлежать”, „между”, „быть конгруэнтным”, чтобы выполнялись все аксиомы системы S.

Имеет место следующая теорема:

Теорема. Система аксиом S непротиворечива, если она допускает хотя бы одну реализацию.

Доказательство. Допустим, что S - противоречива, т.е. S>a и S>. Пусть R - реализация S, тогда в R имеет место a и , что невозможно в силу конкретности основных понятий в R.