Взаимное расположение прямой на плоскости.

Векторы. Сумма и разность векторов. Свойства.

Вектор – направленный отрезок.

Нулевой вектор – вектор у которого начало и конец совпадает.

Длинна вектора – длинна отрезка

Сумма векторов.

Векторы которые строиться определенным образом.

а)Правило треугольника

б)правило параллелограмма

в)правило многоугольника

Свойства.

1)Нуль вектор является нейтральным элементом сложения векторы (а+0=а)

2)Для любого вектора а существует противоположный ему вектор, такой что их сумма равна нуль вектору а+(-а)=0

3)Сложение ассоциативно т.е. (а+b)+с=а+(b+с) (сочитательность)

4)Сложение коммутативно (перестановка) от перемены мест сумма не меняется

Разность векторов

Вектор Х, такой что х+b=а

Что бы вычесть из одного вектора другой надо отложить их из одной точки и вектор соединяющий конец вычитаемого с концом уменьшаемого есть разность векторов

Для того что бы из вектора а вычесть вектор в можно к вектору а прибавить противоположный вектор в.

(а-b)= а(-b)

Произведение вектора на число. Свойства

Произведение вектора (а) на действительное число - вектор (в) удовлитваряющие условие:

1)Длинна вектора (b) равна произведению модуля числа на длину (а) │b│=│а││число│

2)Вектора а и в между собой коллинеарные если число > 0 то сонаправленные, если <0 то противоположно направленные.

3)Если число равно нулю то вектор (b) равен нулю.

4)При умножение любого числа на нуль вектор получается нуль вектор.

5)Всли умножаем единицу на вектор получаем тот же вектор, если на -1 то получаем противоположный

6)Дистрибутивность по вектору (а+b)α = α*а+ α*b

Линейно зависимые вектора .Свойство ЛЗ.

Векторное пространство – множество векторов на котором производятся операции сложения и произведения векторов на число с рассмотренными свойствами

ЛЗ- векторы если существует число из которых хотя бы одно отлично от нуля.

Свойства

1)Система векторов содержащее нулевой вектор ЛЗ.

Если система векторов an содержит ЛЗ подсистему векторов ak то система an ЛЗ.

3)Если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.

4)2 вектора ЛЗ ттт когда они комплонарны

Вектора комплонарны если они параллельны одной и той же плоскости

Лемма –для того чтобы вектор а был колинеарен вектору в необходимо и достаточно что бы существовало действительное  число удовлетворяющее  условия.
ЛНЗ - если равенство (*) только при условиеα1= α2…, αn=0

Базис и координаты вектора. Свойство координат векторов.

Базис- упорядоченная система векторов , которая удовлетворяет следушие условия:

1)векторы системы ЛНЗ.

2)Всякий вектор ,пространства является линейной комбинацией векторов систем.

Координатами вектора в базисе – называется коофиценты разложения вектора по базису.

Координаты суммы векторов равна суме соответствующих координат слагаемых при умножение вектора на число каждая координата умножается на это число

Скалярное произведение векторов. Свойства . СПВ ,заданных прямоугольными координатами. Длинна вектора. Угол между векторами.

Скалярное произведение – сумма произведений соответствующих координат

Скалярное произведение 2-х векторов – число равное произведению длинн этих векторов на cos угла между ними.

Свойства.

1)Если хотя бы один из векторов равно нулю ,то скалярное произведение равно нулю.

2)С.П. не нулевых векторов равна нулю ,ттт когда вектора перпендикулярные

3)СП векторов коммутативны

4)СП квадрата векторов равна квадрату модуля этого вектора

5)Числовой множитель можно выносить за знак сп.

Длинна │а│в квадрате = корень квадратный а = под конем х2+y2+z2

Аффинная и декартова система координат на плоскости. Определения координат вектора .Задача о делении отрезка в данном отношении .Расстояние между 2 точками.

Расстояние между 2 точками.

A(x1y1)B(x2y2)

AB=|AB|

Вектор AB (x2-x1;y2-y1)

AB= корень (x2-x1)степень 2 + (y2-y1)степень 2

О делении отрезка в данном отношение заключается в следующем: Даны координаты начало и конца отрезка и отношение Л в котором точка m делит отрезок a,b.

Отношение Л-называется отношение от первой точки делящие до второй

Л=AM\MB

Л>0 при AM сонаправлены MB

Л<0 при AM противоположно направлены MB  

Векторное произведение векторов. Свойства .Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов.

Векторное произведение векторов а и в – вектор с удовлетворяющие условие:

1)вектор с колинеарен каждому из перемножаемых

2)а,b,c образуют правую тройку векторов

3)Длинна вектора с = │а│*│b│на sin угла между ними.

Свойства

1)Если хотя бы один из векторов нулевой, то векторное произведение равно нулю

2)Если вектор а и b не равно нулю , то векторное произведение равно нулю ттт когда вектора колинеарны

3)Геометрический смысл векторного произведения – модуль вк . произведения равно S параллелограмма на векторы а и b

4)антикомутативность [a,b] = - [b,a]

5)постоянный множитель можно вынести за знак вектора[αa,b] = α[a,b]

Дистрибутивность – дает право при перемножение векторов многочленов выполняя действие по членам.

Смешанные произведения. Свойства. Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов. объем тетраэдра.

Смешанное произведение – скалярное векторное произведение а и b на вектор с. [a,b]c

Свойства

1)Если вектор a,b,c образуют правую правую тройку векторов (a,b,c)>0

Если (a,b,c)<0 тогда образуется левая тройка векторов.

Геометрический смысл – объем паралепипеда построенного на эти вектораотложенных на одной точке.

Смешанное произведение не меняет знак при круговом перестановки множителей,но если поменять 2 множителя знак меняется.

Объем тетраэдра

Vтетр.= ½ V параллелограмма

9)метод координат в пространстве.

Возьмем в пространстве три прямые a,b,c не лежащие в одной плоскости но пересекаются в одной точке. Если оси взаимно перепендикулярны и базесные вектора равные между собой то система координат является прямоугольной декартной системой. A(x1 y1 z1) => Вектор OA(x1,y1,z1) . B(x2,y2,z2) => вектор OB (x2,y2,z2) . вектор AB = вектору OB минус OA

векторAB (x₂e₁+y₂e₂+z₂e₃)-(x₁e₁+y₁e₂+z₁e₃)=(x₂-x₁)e+(y₂-y₁)-e

Простейшие задачи.

Определение координаты вектора на координатном его начало и конца

A(x1; y1)

B(x2;y2)

Вектор AB=вектор OB-OA

AB=(x1*e1+y2*e2)-(x2e2+y2e2)=(x2-x1)e+(y2-y1)e2=>AB(x2-x1; y2-y1)

Чтобы найти координаты вектора нужно из координаты конца.

Способы задания прямой на плоскости.

Взаимное расположение прямой на плоскости.

Теоремы

 Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпердикулярна и самой наклонной.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.

Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.

Вычисление угла между прямыми:

Пусть прямые L1 и L2  заданы общим уравнением A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0

Обозначим через φ велечину угла между прямыми L1 и L2, а через ψ-угол между  нормальными векторами вектор n1=(A1;B2) и вектором n2=(A2;B2) этих прямых.Если ψ<=90^{градусов}, то φ=ψ.Если же ψ>90^{градусов} то φ=180-ψ.В обоих случаях верно равенство cosφ=|cosψ|

Пользуясь знанием координат направляющего и нормального векторов прямых, заданных общими уравнениями, можно сформулировать условия параллельности и перпендикулярности прямых через коэффициенты общих уравнений этих прямых.