Тема: Оценка значимости уравнения регрессии

Практическое занятие №3

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе F -критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной y от среднего значения  раскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную»:ŷ

– общая сумма квадратов отклонений, общая дисперсия;

– сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений), факторная дисперсия;

– остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов, остаточная дисперсия.

Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице 1

Таблица 1- Схема дисперсионного анализа

Компонент дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы
Общая		n-1	/(n-1)
Факторная		m	/m
остаточная		n-m-1

 ( n – число наблюдений, m – число параметров при переменной x ).

Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, определяют величину F -критерия Фишера:

Фактическое значение F -критерия Фишера сравнивается с табличным (критическим) значением F_табл при уровне значимости α и степенях свободы k₁ ; k₂

 – максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при степенях свободы =1, = -m-1 и уровне значимости  

 находится из таблицы -критерия Фишера (таблица в приложении 1).

При этом, если фактическое значение F -критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.Нулевая гипотеза (Н₀) отклоняется. Если условие не выполняется, то нулевая гипотеза (Н₀) не отклоняется, уравнение в целом признается не значимым.

Для парной линейной регрессии m = 1, поэтому

Величина F -критерия связана с коэффициентом детерминации r_ху² , и ее можно рассчитать по следующей формуле:

Для оценки статистической значимости параметров регрессии и корреляции рассчитываются t -критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t -критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t - статистики –t_табл и t_факт – делаем вывод о значимости параметров регрессии и корреляции..

 – максимально возможное значение критерия Стьюдента под влиянием случайных факторов при данной степени свободы = -2 и уровне значимости  находится из таблицы критерия Стьюдента (приложение 2).

Если  то гипотеза о несущественности коэффициента регрессии отклоняется с уровнем значимости  т.е. коэффициент (  или )не случайно отличается от нуля и сформировался под влиянием систематически действующего фактора

Если  то гипотеза не отклоняется и признается случайная природа формирования параметра.

Значимость линейного коэффициента корреляции также проверяется с помощью -критерия Стьюдента, т.е.

Гипотеза о несущественности коэффициента корреляции отклоняется с уровнем значимости  если

Замечание. Для линейной парной регрессии проверки гипотез о значимости коэффициента  и коэффициента корреляции  равносильны проверке гипотезы о существенности уравнения регрессии в целом, т.е.

Стандартные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Для расчета доверительного интервала определяется предельная ошибка∆ для каждого показателя:

Доверительные интервалы для коэффициентов линейной регрессии:

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, т.к. он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Прогнозное значение  определяется путем подстановки в уравнение регрессии  соответствующего прогнозного значения  Затем вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза

где

и строится доверительный интервал прогноза

Интервал может быть достаточно широк за счет малого объема наблюдений.

Задание. Имеются данные, характеризующие динамику спроса в зависимости от цены