Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Векторы. Основные определения илинейные операцииЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ (ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ)
Лекция
Лекция – учебно-методическое пособие к курсу «Экономико-математические методы планирования и управления» для студентов продюсерского факультета
Введение Даннаялекция даетвозможность студентам, осваивающим образовательную программу специальности «Продюсерство», ознакомиться с основами векторной алгебры ианалитической геометрии в трехмерном пространстве исостоит из двух соответствующих разделов. Лекция помогает научиться решать задачи. Она предназначена студентам 1-го курсаи может быть полезна всем, кого интересует достаточно компактное изложение материала. В каждом параграфе изложены теоретические сведения и приведены формулы, необходимые для решения задач, а также разобраны примеры, иллюстрирующие применение этих формул. Решение многих задач можно (и рекомендуется) проводить различными способами.Ряд задач требует вычислений, и студентам предлагается обращаться к использованию цифрового процессора EXCEL, для чего указаны стандартные функцииEXCEL [3-4]. Нумерация формул и рисунков в пособии сквозная. Ключевые слова в определениях и формулировках утверждений выделены курсивом. В качестве дополнительных задачников и учебников с подробным изложением материала рекомендуем [1-2].
Элементы векторной алгебры в трехмерном пространстве Векторы. Основные определения илинейные операции
Векторомв трехмерном пространстве называется направленный отрезок.
Рис. 1 Вектор обозначается либо двумя буквами – своим началом и концом – Длина этого отрезка называется модулем (длиной) вектора и обозначается Направление вектора рассматривается либо относительно других векторов, либо относительно системы координат. Углы, которые образует вектор с осями декартовой системы координат, будем обозначать
Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым, его обозначают Вектор, длина которого равна единице, а направление совпадает с направлением числовой оси, называется единичным вектором или ортом этой оси и обозначается Векторы называются коллинеарнымиили параллельными(обозначение: ||), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, при этом, если их направления одинаковые, то они называются сонаправленными(обозначение: Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Два вектора всегда компланарны. Пусть заданы два произвольных ненулевых вектора
Рис. 2 Углом между векторами Угол между сонаправленными векторами равен Если угол между векторами равен
Линейными операциями над векторами называются следующие действия: сложение векторов, вычитание векторов и умножение вектора на число. Суммой векторов
|
, либо одной малой буквой 
со стрелкой.
или, соответственно, 
. В векторной алгебре рассматриваются свободные векторы, то есть два вектора равны, если их можно совместить благодаря параллельному переносу.
Так как эти углы могут меняться только в пределах от 0 до 
(углы измерены в радианах, что и будем считать в дальнейшем), то между углами и их косинусами есть взаимно однозначное соответствие. Поэтому 
называютсянаправляющими косинусами вектора. Для них выполняется тождество
. (1)
. Длина нулевого вектора равна нулю, а направление считается произвольным.
.Орты осей декартовой системы координат обозначаются 
.
), в противном случае - противоположно направленными(обозначение: 
)[1].
и 
. Приведем их к общему началу, для этого отложим от некоторой точки 
векторы 
и 
, равные, соответственно, заданным векторам 
и 
(рис. 2).
.
радиан, между противоположно направленными – 
.
, то такие векторы называются перпендикулярными или ортогональными(обозначение: 
).
и 
называется вектор 
(обозначение: 
), построенный с помощью "правила параллелограмма" или "правила треугольника". Для нескольких векторов используют "правило многоугольника".
