Составление и решение системы уравнений.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задача 1. Для электрической схемы, изображенной на рис.1 - 10, позаданным в табл.1 сопротивлениям и ЭДС:

1) составить систему уравнений, необходимых для определения токов

по первому и второму законам Кирхгофа;

2) найти все токи, пользуясь методом контурных токов.

Таблица №1.

Схемы для расчёта токов (рис. 1 – 10)

Рис.1  +                                                       Рис.2

Рис.3                                                        Рис.4

 Рис.5                                                        Рис.6

Рис.7                                                                      Рис.8

 Рис.9                                                                          Рис.10

Задача 2.Для электрической схемы, изображенной на рис. 11 – 14, по заданным втабл.2 параметрам и линейному напряжению определить фазные токи,активную мощность всей цепи и каждой фазы отдельно, построитьвекторную диаграмму и графически определить ток в нейтральном проводе.

Таблица №2

Схемы для расчета трехфазных цепей

 (рис. 11 –14)

                           Рис. 11                                                                        Рис. 12

 Рис. 13                                                                  Рис.14

Задача 3.   Для трехфазного трансформатора, номинальные данные которогоприведены в табл.3, определить коэффициент мощности в режиме холостогохода, сопротивления первичной и вторичной обмоток R1 , X1, R2, X2 исопротивление намагничивающего контура Z0 , R0 , X0 . Построить внешнююхарактеристику трансформатора U2 = 𝑓(𝛽) и зависимость КПД от

коэффициента загрузки η= 𝑓(𝛽) при cos φ2 =0,75. Начертитьэквивалентную схему трансформатора. Схема соединения обмоткитрансформатора - Y⁄Y - 0.

Таблица №3

Задача 4.Трехфазный асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором,номинальная мощность которого 𝑃н, включен в сеть под номинальноенапряжение 𝑈н с частотой 𝑓 = 50 Гц. Определить : номинальный 𝐼н ипусковой 𝐼п токи, номинальный 𝑀н, пусковой 𝑀п при 𝑆 = 1 и максимальный𝑀к моменты, полные потери в двигателе при номинальной нагрузке Δ 𝑃н.

Построить механическую характеристику двигателя n = 𝑓(𝑀) .Как изменится пусковой момент двигателя при снижении напряженияна его зажимах на 15% и возможен ли пуск двигателя при этих условиях сноминальной нагрузкой? Данные для расчета приведены в табл.4.

Таблица №4

Вариант	𝑈н	𝑃н	𝑆н	𝜂н	cos 𝜑н	p (число пар полюсов)	𝑀к⁄𝑀н = λ
	В	кВт	%	%	-	-	-	-
1	220	4,0	2,0	85,5	0,89	1	2,2	7,0
2	220	7,5	3,5	87,0	0,89	1	2,2	7,0
3	220	13,0	3,5	88,0	0,89	1	2,2	7,0
4	220	40,0	3,0	89,0	0,91	1	2,2	7,0
5	220	75,0	3,0	90,0	0,92	1	2,2	7,0
6	380	10,0	3,0	88,0	0,87	2	2,0	7,0
7	380	17,0	3,0	89,0	0,89	2	2,0	7,0
8	380	22,0	3,0	90,0	0,90	2	2,0	7,0
9	380	30,0	3,0	91,0	0,91	2	2,0	7,0
10	380	55,0	3,0	92,0	0,92	2	2,0	7,0

Образцы решения задач

Задача 1.Для электрической схемы, изображенной на рис.15 , исходные данные которой

E₁ = 60 В; E₂ = 80 В; E₃ = 70 В;R₁ = 20 Ом; R₂ = 50 Ом; r₀₃ = 5 Ом; R₄ = 65 Ом; R₅ = 85 Ом, необходимо:

1) составить систему уравнений, необходимых для определения токов

по первому и второму законам Кирхгофа;

2) найти все токи, пользуясь методом контурных токов.

Рис.15

Решение:

Определение необходимого числа уравнений.

В схеме рис. 15 пять ветвей и для расчета токов в них надо составить пять уравнений. По первому закону Кирхгофа составляются уравнения для всех узлов, кроме одного (уравнение для него будет следствием предыдущих), по второму – для независимых контуров (в каждый последующий контур входит хотя бы одна ветвь, не вошедшая в ранее рассмотренные). Для данной схемы надо составить два уравнения по первому закону и три – по второму.

Составление и решение системы уравнений.

Для составления уравнений задаемся произвольно направлениями токов в ветвях и направлениями обхода контуров (рис. 15).

Уравнение для узла d: I₁ + I₃ - I₄ = 0.
Уравнение для узла е: - I₂ - I₃ + I₅ = 0.

Уравнение для контура bcd: I₁R₁ + I₄R₄ = E₁.
Уравнение для контура abe: I₂R₂ + I₅R₅ = E₂.
Уравнение для контура bde: I₃r₀₃ + I₄ R₄ + I₅R₅ = E₃.

Подставив в уравнения численные значения величин, получим алгебраическую систему уравнений:

I₁ + I₃ - I₄ = 0;
- I₂ - I₃ + I₅ = 0;
20 I₁ + 65 I₄ = 60;
50 I₂ + 85 I₅ = 80;
5 I₃ + 65 I₄ + 85 I₅ = 70.

Решение системы дает значения токов: I₁ = 1,093 А; I₂ = 0,911 А; I₃ = –0,506 А; I₄ = 0,587 А; I₅ = 0,405 А.

Что означает минус перед численным значением тока I₃?

Знак «–» говорит о том, что реальное направление тока в данной ветви противоположно принятому в начале расчета.

Расчёт баланса мощностей.

В каких режимах работают элементы схемы, содержащие источники ЭДС?

В ветвях с E₁ и E₂ токи совпадают по направлению с ЭДС, т.е. данные элементы работают источниками, отдавая энергию в схему; в ветви с ЭДС E₃ ток направлен против ЭДС, т.е. данный элемент работает потребителем (например, машина постоянного тока в режиме двигателя).

3. Как проверить правильность решения задачи?

Для проверки правильности расчета можно на основании законов Кирхгофа написать уравнения для узлов и контуров схемы, которые не использовались при составлении исходной системы. Независимой проверкой является уравнение баланса мощностей: сумма мощностей источников равна сумме мощностей, расходуемых в резистивных элементах схемы. Т.к. элемент схемы с ЭДС может работать как в режиме источника, так и в режиме потребителя, соответствующее слагаемое в левой части уравнения берется с плюсом, если Е и I совпадают по направлению (источник), и с минусом, если направления противоположны (потребитель).

Мощности элементов схемы с ЭДС:

E₁I₁+ E₂I₂ - E₃I₃ = 60 * 1 * 1,093 + 80 * 0,911 - 70 * 0,506 = 104,04 Вт.

Мощности, расходуемые в резистивных элементах схемы:

I₁²R₁ + I₂²R₂ + I₃²r₀₃ + I₄²R₄+ I₅²R₅ = 1,093² * 20 + 0,911² * 50 + 0,506² * 5 + 0,587² * 65 + 0,405² * 85 =103,01 Вт

∑E_I = ∑P Баланс мощностей сошелся, следовательно, задача решена верно.

Задача 2.В четырехпроводную сеть включена несимметричная нагрузка, соединения в звезду (рис. 16 а). Линейное напряжение сети𝑈л = 380 В. Определить токи в фазах и начертить векторную диаграммуцепи в нормальном режиме.  Из векторных диаграмм графически найти ток в нулевом проводе.

Решение:

Определяем:

1. Фазное напряжение:

Uф = Uл/  = 380/1,73 = 220B.

2. Токи в фазах:

I_А=Uф/ Z_A =Uф/ =

I_B= Uф/Z_В =

Рис.16

3. Углы сдвига фаз в каждой фазе

, так как в фазе С есть только активное сопротивление.

    4. Построение векторной диаграммы

Для построения векторной диаграммы выбираем масштабы по току(1 см = 10 А) и напряжению (1 см = 40 В). Построение диаграммы начинаем с векторов фазных напряжений UA, UB, UC (рис. 16б), располагая их подуглом 120°друг относительно друга. Чередование фаз обычное: за фазой А- фаза В, за фазой В - фаза С.

В фазе Аугол сдвига φ_А отрицательный, т.е.ток I_А опережает фазное напряжение U_Aна угол φ_А= - 36°50′. Длина вектора тока I_А в прямом масштабе составит 22/10 = 2,2 см, а длина вектора фазного напряжения U_A - 220/40 = 5,5 см.

В фазе В угол сдвига φ_В> 0, т.е. токотстает от фазного напряжения U_Bна угол φ_В= 53°10′; длина вектора токаI_Bравна 44/10 = 4,4 см.

В фазе С ток и напряжение UC совпадают по фазе,так как φ_С= 0. Длина вектора тока I_Cсоставляет 22/10 = 2,2 см.

       5. Определение тока в нулевом проводе

Ток в нулевом проводе Io равен геометрической сумме трех фазных токов.

Измеряядлину вектора тока Io, получаем в нормальном режиме 4,5 см, поэтому Io =45 А. Векторы линейных напряжений на диаграмме не показаны, чтобы неусложнять чертеж.

Задача 3.   Для трехфазного трансформатора мощностью S=180кВА, соединение обмоток которого Y⁄Y – 0 , известно; номинальное напряжение на зажимахпервичной обмотки U_1Н = 10000В; напряжение холостого хода на зажимахвторичной обмотки U₂₀ = 525В; напряжение короткого замыкания U_К%=5,0%, мощность короткого замыкания P_К= 4100 Вт, мощность холостогохода Р₀=1200 Вт, ток холостого хода 𝐼₀= 0,07 𝐼_1Н.

Определить сопротивления обмоток трансформатора и сопротивлениянамагничивающего контура. Построить:

1) зависимость напряжения вторичной обмотки U2от коэффициентазагрузки β (U₂ =𝑓(β) – внешняя характеристика),

2) зависимость коэффициента полезного действия 𝜂 от коэффициентазагрузки β.

Составить Т-образную схему замещения трансформатора

Решение:

1.Определяем номинальный ток первичной обмотки:

=

2.Определяем ток холостого хода и cos φ ₀:

I₀= 0,07∙ 𝐼_1Н= 0,07∙10,39 = 0,73 А

3.Сопротивления короткого замыкания:

4.Сопротивления первичной обмотки и приведенных к первичной обмотке сопротивления вторичной обмотки:

Коэффициент трансформации

Сопротивление вторичной обмотки

5. Сопротивления контура намагничивания

6. Для построения внешней характеристики U₂ =𝑓(β) определяем потерю напряжения во вторичной обмотке трансформатора:

где cos  - коэффициент мощности нагрузки.

𝑈𝑎%, 𝑈р%- активное и реактивное относительные падения напряжений:

где cosφ_К= 𝑅_К⁄𝑍_К ; sinφ_К = 𝑋_К⁄𝑍_К

Напряжение на зажимах вторичной обмотки трансформатора определяется по формуле:

Задаваясь различными значениями β, определяем падения напряжения на обмотке трансформатора ΔU2% и напряжения на зажимах вторичной обмотки.Построение зависимости

𝜂 = 𝑓(𝛽) производится по формуле:

Т- образная схема замещения (эквивалентная схема) показана на рис.17

Рис. 17

Задача 4.Трехфазный асинхронный двигатель с короткозамкнутым ротором типа 4А25034У3,номинальная мощность которого 𝑃н, включен в сеть под номинальноенапряжение 𝑈н с частотой 𝑓 = 50 Гц. Определить : номинальный 𝐼н ипусковой 𝐼п токи, номинальный 𝑀н, пусковой 𝑀п при 𝑆 = 1 и максимальный𝑀к моменты, полные потери в двигателе при номинальной нагрузке Δ 𝑃н.

Построить механическую характеристику двигателя n = 𝑓(𝑀) .Данные для расчета приведены в табл.4.

𝑈н	𝑃н	𝑆н	𝜂н	cos 𝜑н	p (число пар полюсов)	𝑀к⁄𝑀н = λ
В	кВт	%	%	-	-	-	-
380	75	2,0	93	0,87	1	2,2	7,5

частота вращения ротора n₂= 1480об/мин; кратность пускового моментаМ_ПУСК/М_НОМ=1,2; Частота токав сети f =50 Гц.

Решение:

1. Мощность, потребляемая из сети:

Р₁ = Р_Н/η_Н= 75/0,93 = 80,6 кВт

2. Номинальный момент, развиваемый двигателем

= 9550 Нм

3. Пусковой и максимальный моменты

Мmax= λM_H=2,2 484 =1064,8Нм

М_пуск = 1,2 М_н = 1,2 484 = 581 Нм

4. Номинальный и пусковой токи

= 7,5 I_н = 7,5 141 =1057,5 А

6. Суммарные потери в двигателе:

7. Номинальное скольжение

S_HOM= (n₁ – n₂)/n₁=(1500-1480)/1500 = 0,013

8. Частота тока в роторе:

f₂=f₁・S_H= 50・0,013 = 0,65 Гц

9. Критическое скольжение

𝑆к = 𝑆н ∙ (𝜆 + ) = 0,013 (2,2 + = 0,054

10. Механическая характеристика М = f (S) строится по уравнению:

=

Задаваясь скольжением S от 0 до 1, подсчитываем вращающиймомент.

Рис. 18.Механическая характеристика