Номадическая колесница, вся из дерева, Алтай, V–IV век до нашей эры. 14 страница

Можно ли дать самое общее математическое определение гладким пространствам? По-видимому, «фрактальные объекты» Бенуа Мандельброта находятся как раз на этом пути. Фракталы суть совокупности, чья размерность является дробной, а не целой, или же целой, но с непрерывным варьированием направления. Например, сегмент, где центральную треть мы заменяем углом равностороннего треугольника, а затем ту же операцию повторяем на каждом из четырех образовавшихся сегментов, и так далее до бесконечности, следуя отношению однородности, — такой сегмент будет конституировать бесконечную линию или кривую с размерностью выше 1, но ниже размерности поверхности (= 2). Сходные результаты могут быть получены просверливанием или вырезанием «бухточек» в круге, а не посредством добавления «мысы» треугольнику; также можно рассмотреть и куб, где дырки просверливаются согласно принципу однородности, в результате чего он становится меньше, чем объем, и больше, чем поверхность (в этом состоит математическое представление о сходстве свободного пространства и дырчатого пространства). А еще — в других формах — броуновское движение, турбулентность и облака являются такими «фрактальными объектами».[667] Возможно, мы располагаем новым способом определения нечетких множеств. Но, главным образом, гладкое пространство получает общее определение, принимающее в расчет его отличия от рифленого пространства, а также отношения с последним: 1) будем называть рифленой или метрической любую совокупность, которая имеет целую размерность и которой можно приписать постоянные направления; 2) неметрическое гладкое пространство конституируется посредством конструирования линии с фрактальной размерностью большей, чем 1, или конструирования поверхности фрактального размерности большей, чем 2; 3) фрактальное число размерности — показатель собственно направленного пространства (с непрерывной вариацией направления без касательной); 4) тогда гладкое пространство определяется тем, что у него нет измерения, дополнительного к тому, что движется по нему или вписывается в него — в этом смысле именно плоское многообразие, например линия, заполняет план, не переставая быть линией; 5) само пространство и то, что оккупирует пространство, стремятся к тому, чтобы идентифицироваться, обладать одной и той же мощью в неточной, но тем не менее строгой форме исчисляющего или не целого числа (оккупировать, не считая); 6) такое гладкое, аморфное пространство образуется благодаря аккумуляции близостей, и каждая аккумуляция определяет зону неразличимости, присущую «становлению» (больше, чем линия, и меньше, чем поверхность; меньше, чем объем, и больше, чем поверхность).

Кривая фон Коха: больше, чем линия, но меньше, чем поверхность. В сегменте АЕ (1) выделяется вторая треть и заменяется треугольником BCD (2). И (3) данная операция повторяется по отдельности во всех сегментах — АВ, ВС, CD и DE. в результате получается угловатая линия, все сегменты которой равны. На каждом из таких сегментов мы повторяем третий раз (4) то, что было проделано в (2) и (3), и так далее до бесконечности. в пределе мы получаем некую «кривую», состоящую из бесконечного числа угловых точек и не имеющую касательной ни к одной из них. Длина такой кривой бесконечна и ее размерность выше единицы: она представляет пространство размерностью 1,261859 (а точнее: log 4 / log 3).

Губка Серпинского[668] больше, чем поверхность, но меньше, чем объем! Закон, согласно которому этот куб пуст, на первый взгляд можно постичь интуитивно — каждый квадрат окружен восьмью квадратными дырками в треть от его стороны; такие восемь дырок сами окружены восемью дырками еще в треть от их стороны. И так до бесконечности. чертеж не может отобразить бесконечность дыр исчезающего размера ниже четвертого порядка, но ясно, что этот куб в пределе бесконечно пуст. Его общий объем приближается к нулю, вся боковая поверхность из пустот бесконечно возрастает. Размерность данного пространства 2,7268. Она, следовательно, «заключена» между поверхностью (с размерностью 2) и объемом (с размерностью 3). «Ковер Серпинского» — одна из граней такого куба; значит, пустоты — это квадраты, а размерность «поверхности» — 1,2618. (Воспроизводится по: Studies Geometry, Léonard Blumenthal and Karl Mé Freeman and company, 1970).