Расстоянием между двумя параллельными прямыми

это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой.Параллельные прямые — это две непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости. Параллельные прямые записываются через знак параллельности «||».

2) Начерти отрезок АВ например 4 см.От точки А циркулем сверху проведи небольшую дугу.Из точки В тоже проведи дугу так чтобы эти 2 дуги пересекались.Вот эту точку соедини с точкой А и с точкой В.У тебя должно получиться равнобедренный треугольник

3)

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Докажем, что угол МАD равен углу ВСА
Углы ВАD и ВАС смежные. Из этого следует, что угол ВАD =180-80=100.
Так как АМ биссектриса угла ВАD ,то МАD= 100 : 2=50. MAD=ВСА=50
Значит АМ параллельна ВС.

Билет18

1) Признак равенства по гипотенузе и острому углу.Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам.Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе.Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу.Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2) Два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Теперь доказательство теоремы:
Вертикальные углы равны!

Представь углы 1 , 3 и 2 , 4. Угол 2 является смежным как с углом 1 так и с углом 3. Два угла , у которых одна сторона общая а две другие являются
продолжениями одна другой, называються смежными. По свойству смежных углов < 1+<2=180градусов. <3+<2=180градусов

Отсюда получаем <1=180-<2. <3=180-<2 таким образом, градусные меры углов 1 и 3 равны.
Значит и сами углы равны. Теорема доказана

3)

Билет 19

1) 1. Нарисовать окружность (или часть окружности) с центром в вершине данного угла так, чтобы она пересекла стороны данного угла.

2. Нарисовать окружность (или ее часть) с тем же радиусом, что и в п. 1, но с вершиной в точке, от которой отложен луч. При этом луч и окружность должны иметь точку пересечения.

3. Зафиксировать циркулем расстояние между точками пересечения окружности из п. 1 со сторонами данного угла.

4. Нарисовать окружность (или ее часть) радиусом, полученным в п. 3, и с центром в точке пересечения данного луча и нарисованной в п. 2 окружности. При этом окружности (или их части) должны иметь точку пересечения.

5. В точку пересечения двух окружностей, полученную в п. 4, провести новый луч из точки, от которой отложен данный по условию задачи луч. Эти два луча составляют угол, равный данному.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC,в котором <A–прямой,

<B = 30 и, значит, <C = 60.(рис а)Докажем, что AC = ½ BC.

Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольнику ABD так, как показано на рисунке б. Получим треугольник BCD, в котором<B =<D = 60, поэтому DC = BC. Но AC = ½ DC.  Следовательно, AC = ½ BC, что и требовалось доказать.

Билет 20

1) 1. Провести окружность произвольного радиуса с центром в вершине угла.

2. Построить 2 окружности этого же радиуса с центром в точках пересечения первой окружности и сторонами угла.

3. Построить такой луч из вершины угла, чтобы он проходил через точку пересечения окружностей из второго шага.

2) Медиана в равнобедренном треугольнике, которую провели к его основанию, является также высотой и биссектрисой

Доказательство теоремы.

Допустим, мы имеем равнобедренный треугольник ABC, основание которого AB, а CD - это медиана, которую мы провели к его основанию. В треугольниках ACD и BCD угол CAD = углу CBD, как соответствующие углы при основании равнобедренного треугольника . А сторона AC = стороне BC (по определению равнобедренного треугольника). Сторона AD = стороне BD, Ведь точка D делит отрезок AB на равные части. Отсюда выходит, что треугольник ACD = треугольнику BCD.Из равенства этих треугольников мы имеем равенство соответствующих углов. То есть угол ACD = углу BCD и угол ADC = углу BDC. Из равенства 1 выходит, что CD - это биссектриса. А угол ADC и угол BDC - смежные углы, и из равенства 2 выходит, что они оба прямые. Получается, что CD - это высота треугольника. Это и есть свойство медианы равнобедренного треугольника.

Билет 21

1)

3) 1. Углы возле основания равнобедренного треугольника равны между собой.

2. Медиана в равнобедренном треугольнике, которую провели к его основанию, является также высотой и биссектрисой.

3. Если в треугольнике два угла равны между собой, то такой треугольник равнобедренный.

4. Если в любом треугольнике его медиана является также и его высотой, то такой треугольник равнобедренный.

5. Если три стороны треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Билет 22

1)1.Окружность-это геометрическая фигура, состоящая из множества точек, находящихся на одинаковом расстоянии от точки, называемой центром окружности.

2.Радиус- это отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку окружности.

3.Диаметр-это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр.

4.Хорда- это отрезок, соединяющий две любые точки окружности.

2) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим треугольники ABC и AlBlC1, у которых АВ=А1В1, BC = BlC1 СА=С1А1. Докажем, что ΔАВС =ΔA1B1C1. Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A1, вершина В — с вершиной В1, а вершины С и С1, оказались по разные стороны от прямой А1В1. Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С1С про­ходит внутри угла А1С1В1. Так как по условию теоремы стороны АС и A1C1, ВС и В1С1 равны, то треугольники A1C1C и В1С1С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A1C1B1.

2) Луч С1С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC1. AC=A1C1, BC=B1C1, ∆C1BC – равнобедренный, ∠ACB=∠A1C1B1.

3) Луч C1C проходит вне угла А1С1В1. AC=A1C1, BC=B1C1, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A1C1B1. Итак, AC=A1C1, BC=B1C1, ∠C=∠C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников.

Билет 23

1) 1. Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельные.

2. Если при перечислении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых секущей, суммы односторонних углов равно 180градусов, то прямые параллельны.