Группы, кольца. Примеры, основные свойства. Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

Бинарной (алгебраической) операцией на множестве А называют соответствие, сопоставляющее каждой упорядоченной паре (a, b) элементов множества А единственный элемент с того же множества. Кроме бинарных операций существуют нольарные, унарные, тернарные, n-арные и т.д. Бинарная операция · называется коммутативной, если для любых двух элементов a, b из множества А выполняется: a·b = b·a.Бинарная операция · называется ассоциативной, если ("a, b, сÎА) (a·b)·с = a·(b·с). Пусть на множестве А заданы 2 бинарные операции: (А,*,·). Бинарная операция * называется дистрибутивной относительно операции ·, если: ("a, b, сÎА) (a·b)*с = (a*с)·(b*c) (правая дистрибутивность) и с*(a·b) = (с*а)·(с*b) (левая дистрибутивность). Элемент nÎА называется нейтральным относительно бинарной операции ·, заданной на А, если ("aÎА) a·n = n·а = а. Теорема (о единственности нейтрального элемента): если нейтральный элемент относительно бинарной операции существует, то он единственный. Д-во( МОП): пусть n₁ и n₂ – 2 нейтральных элемента относительно одной и той же операции ·. n₁·n₂ = n₂ Ù n₁·n₂ = n₁ Þ n₁ = n₂.

Пусть · - бинарная операция на множестве А, имеющая нейтральный элемент n. Элемент а¢ называется симметричным для элемента а, если выполняется условие: а·а¢ = а¢·а = n. Теорема (о числе симметричных элементов у ассоциативной операции): если операция · ассоциативна, то никакой элемент не может иметь более одного симметричного элемента.

Для бинарных операций наиболее распространенными являются следующие 2 формы записи: аддитивная и мультипликативная. Множество А с одной или несколькими заданными в нем алгебраическими операциями называется алгеброй (алгебраической системой). Наиболее важными типами алгебр являются: группы, кольца, поля, векторные пространства. Отображение первой алгебры на вторую, сохраняющее операции, называется гомоморфизмом. При этом вторая алгебра называется гомоморфным образом первой алгебры. Взаимнооднозначный гомоморфизм первой алгебра на вторую называется изоморфизмом.

Непустое множество G с алгебраической операцией · на нем называется группой, если: 1) · ассоциативна, 2) относительно · имеется нейтральный элемент, 3) для любого элемента из множества G имеется симметричный. Примеры групп: (Z,+). Не являются группами: (N,+), (Z, ), (Q,). Полугруппу с единичным (нейтральным) элементом называют моноидом. Свойства групп: 1) единица единственная Д-во: следует из теоремы о единственности нейтрального элемента., 2) обратные элементы единственные. Д-во: по теореме о числе симметричных элементов у ассоциативной операции для любого элемента а может быть не более одного симметричного. Но по определению группы для любого элемента множества имеется симметричный, т.е. в группе для любого элемента обратный к нему – единственный., 3) ("a, bÎG) ax = b, ya = b относительно переменных х, у имеют единственное решение. Д-во: ах = b, х = а-1b, а(а-1b) = (аа-1)b = b. Пусть с – произвольное решение данного уравнения: с =1с = (а-1а)с = а-1(ас) = а-1b. Следовательно, элемент а-1b является единственным решением первого уравнения. Аналогично доказ-ся, что bа-1 является единственным решением второго уравнения. 4) ("a, b, сÎG) ab = ac Þ b = c. 5) ("a, bÎG) ab = a Þ b = e, ba = a Þ b = e. 6) ("a, bÎG) ab = 1 Þ b = a^-1 Ù a = b^-1. 7) Пусть имеются элементы а₁, а₂, а₃, …, а_n. Под произведением трех элементов будем понимать: а₁×а₂×а₃ = (а₁×а₂)×а₃; под произведением четырех: а₁×а₂×а₃×а₄ = (а₁×а₂×а₃)×а₄, и т.д. Произведение n элементов – есть произведение след. вида: (а₁×а₂×…×а_n-1)×а_n. Под степенью элемента а в группе будем понимать выражение вида: аⁿ =

1, n = 0,

a, n = 1,

a×…×a, n > 0,

(a×…×a)^-1, n < 0.

Если группа с операцией «+», то говорят о кратных элементах: n×a =

0, n = 0,

a, n = 1,

a + … + a, n > 0,

- (a + … + a), n < 0.

8) Свойства степени: ("a, bÎG) ("m, nÎZ) a^m×aⁿ = a^m+n; (a^m)^q = a^mq; (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. 9) в группе в произведении n элементов скобки можно расставлять любым способом. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой этой группы G, если оно само является группой относительно той же бинарной операции, что и G. Критерий подгруппы (на мультипликативном языке): Пусть нам дано непустое подмножество Н группы G. Н является подгруппой группы G Û выполняются след. 2 условия: 1) ("a, bÎH) (ab)ÎH, 2) ("aÎH) a^-1ÎH.

Пусть имеются 2 группы (G₁,·), (G₂,*). Отображение f: G₁®G₂ называется гомоморфизмом групп, если выполняется: ("a, bÎG₁) f(a·b) = f(a)*f(b). Теорема (о гомоморфном образе группы): гомоморфный образ группы так же является группой относительно своей операции.

Биективным (взаимнооднозначным) отображением называется инъективное и сюрьективное отображение. Отображение f называется инъективным, если: ("х₁, х₂ÎХ) х₁ ¹ х₂ Þ f(х₁) ¹ f(х₂) или f(х₁) = f(х₂) Þ х₁ = х₂. Отображение f называется сюрьективным, если: ("уÎY) ($xÎX) f(x) = y. Взаимнооднозначный гомоморфизм называется изоморфизмом.

Непустое множество К называется кольцом, если: 1) ("a, bÎК) (a + b)ÎК. 2) ("a, bÎК) (ab)ÎК. 3) ("a, b, cÎК) (a + b) + c = a +(b + c). 4)($nÎК) ("aÎK) a + n = n + a = a. 5) ("aÎK) ($a¢ÎК) a + a¢ = a¢ + a = n. 6) ("a, bÎК) a + b = b + a. 7) ("a, b, cÎК) a(bc) = (ab)c. 8) ("a, b, cÎК) a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca. Свойства колец: 1) 0 – единственный нейтральный элемент относительно «+». 2) ("aÎК) – а является единственным элементом в К. 3) а + х = b имеет единственное решение х = b – a. 4) a + b = a + c Û b = c. 5) a + b = a Þ b = 0. 6) a + b = 0 Þ a = -b Ù b = -a. 7) –(-a) = a. 8) a×0 = 0×a = 0 Д-во: а0=а(0+0)=а0 + а0 Þ (по 5 свойству) а0=0.

. 9) (-a)b = -(ab); a(-b) = -(ab); (-a)(-b) = ab. Д-во: (а+(-а))b = 0, (а+(-а))b = ab + (-a)b = 0 Þ (-a)b = -(ab). 10) ("a, b, cÎК) (a - b)c = ac – bc; c(a - b) = ca – cb. Д-во: (a-b)c = (a + (-b))c = ac + (-b)c = ac – bc. Пусть (К, +, ×) – кольцо. Подмножество L кольца К называется подкольцом кольца К, если оно является кольцом относительно «+» и «×», заданных в К, а К называется надкольцом L. Критерий подкольца: Для того, чтобы непустое подмножество L кольца К было подкольцом кольца К Û 1) ("a, bÎL)(a + b)ÎL, 2) ("a, bÎL)(ab)ÎL, 3) ("aÎL)-aÎL. Коммутативное, унитарное кольцо без делителей 0 называют областью целостности. Пусть даны 2 кольца: (К1,+,), (К2,,). Отображение f из кольца К1 в кольцо К2 называется гомоморфизмом, если выполняются след. условия: 1) (a, bK1) f(a+b) = f(a)  f(b), 2) (a, bK1) f(ab) = f(a)  f(b). Теорема: гомоморфный образ кольца является кольцом.

N-множество натур. чисел(1,2,3…). Z-множество цел. чисел(…-1,0,1…).Целое число a делится нацело на b≠0, если $ такое qÎZ, что выполняется a=bq, q-частное, b-делитель, a-делимое.

Свойство отношений делимости. 1. Отношение делимости почти рефлексивно ("aÎZ)(a≠0)(a:a). 2. Отношение делимости транзитивно. (a:b)Ù(b:c)®(a:c). Д-во: т.к a:bÞ$ qÎZ, a=bq; b:cÞ$ tÎZ, b=ct; a=(ct)q=c(tq), tqÎNÞ a:c. 3. Отношение делимости сохраняется при изменение знаков делимого и делителя. a:b®(-a:b)Úa:(-b)Ú (-a):(-b). 4. Если a:cÙb:c®(a±b):c. Д-во: a:cÞ$ qÎZ, a=cq; b:cÞ$ tÎZ, b=ct; a±b=cq±ct=c(q±t), (q±t)ÎN. 5. Если a:cÙbÎZ, то ab:c. 6. Если a:cÙbне:c®(a±b)не:c. Д-во:метод от противного. Представим (a+b):c, тогда $qÎZ, что (a+b)=cq, по условию a:cÞ$tÎZ, что a=ct, ct+b=cq, b=cq-ct=c(q-t), (q-t)ÎNÞb:c.Пришли к противоречию,Þbне:c.7. 0 делится на " число b. 8. " число a:1. 9. Если а≠0, то не$ такого целого числа q, что 0q=а. Это свойство исключает деление числа на 0. 0q=0, "qÎZ, поэтому 0:0 неопределенно однозначно, деление на 0 невозможно. 10.a:bÙa≠0®|a|>=|b|.Д-во: Пусть a:bÞ$qÎZ, что a=bq, т.к a≠0, то q≠0 |a|=|bq|, то |q|>=1 |a|=|b||q|Þ1) |q|=1, тогда |a|=|b|, 2) |q|>1, тогда |a|>|b|.

Деление с остатком.Разделить aÎZ a:b, bÎZ, с остатком, значит найти такие q,rÎZ, чтобы выполнялись условия 1)a=bq+r,2)0<=r<|b|. Теорема: о деление с остатком. Каковы бы ни были a,bÎZ, b≠0, всегда возможно и притом ед. образом разделить число a на b с остатком.Д-во: Докажем, что деление a на b с остатком возможно. 1) пусть "aÎZ b>0. Рассмотрим мн-ва всех чисел кратных b, обозначим за Q={…,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b…}. Возьмем число qbÎQ, чтобы вып-сь след-е условие: qb<=a<b(q+1)(1), qb-qb<=a-qb<b(q+1)-qb, 0<=a-qb<b(2). Обозн. r=a-qb в силу (2), 0<=r<b, а из r=a-qbÞa=qb+rÞпо опр. a:b с остатком. 2)пусть "aÎZ b<0Þ(-b)>0, для этого случая было доказано деление с остатком. Т.о. $ (-q),rÎZ, a=(-b)(-q)+r, 0<=r<(-b)=|-b|, a=bq+r, 0<=r<b. 3)Докажем, единств-ть дел-я с остатком. МОП. Предположим что числа a,bделятся двумя способами. a=bq1+r1,(3), a=bq2+r2,(4), bq1+r1=bq2+r2, bq1-bq2=r2-r1, b(q1-q2)=r2-r1(5), по опр. 0<=r1<|b|, 0<=r2<|b|, 0<=|r2-r1|<|b|, из рав-ва (5) (r2-r1):b, пред-м r2-r1≠0, то по свойству 10, то |r2-r1|>=|b|. Получили r2=r1=r, подставим в рав-ва(3)(4). a=bq1+r, a=bq2+r. bq1+r- bq2-r=0, b(q1-q2)=0, т.к b≠0 q1=q2. НОД. Целое число d≠0 наз-ся ОД а1,а2,…аnÎZ, если каждое из этих чисел делится на d. Целое число d≠0, наз-ся НОД чисел а1,а2,…аnÎZ, если d-является их ОД, d делится на" ОД чисел а1,а2,…аn. Теорема:НОД чисел (а1,а2,…аn)=d определен однозначно с точностью до знака. Если d1,d2-НОД чисел(а1,а2,…аn), то либо d1=d2,d1=-d2. Д-во: Путь d1,d2-НОД чисел(а1,а2,…аn), т.к. d1-НОД, то он делится на " ОД этих чисел, а значит делится и на d2. т.к. d2-НОД, то он делится на " ОД этих чисел, а значит делится и на d1. В силу св-ва отношения делимости d1:d2, d2:d1 d1=±d2. Алгоритм Евклида: Лемма1: Если число a:b, где b>0, a,bÎZ, то НОД a и b=b. Лемма2: Если число a=bq+r, где b>0, 0<=r<|b|, то НОД a и b=НОД b и r.

Пусть a,bÎZ, такие что a>b>0, тогда число a делится на b остатком. Возможны 2 случая:1) a:b, в силу Леммы 1Þ(a,b)=b. 2) a=bq+r(по Л 2)Þ (a,b)=(b,r), b>r>0. Разделим b на r с остатком:а)b:r(по Л 1)Þ(b,r)=rÞ(a,b)=r.б)b=rq1+r1(по Л 2)Þr>r1>0, (b,r)= Þ (r,r1)Þ(a,b)=(r,r1). Делим r на r1 с ост.: а)r:r1 (по Л 1)Þ(r,r1)=r1Þ(a,b)=r1.б)r=r1q2+r2(по Л 2)Þr1>r2>0, (r,r1)=(r1,r2)Þ(a,b)=(r1,r2). Продолжая этот процесс на каком то шаге мы получим деление без остатка, последний не нулевой остаток будет являться НОД чисел a,b. Теорема: Алгоритм Евклида. Если a=bq0+r1, b=r1q1+r2, r1>r2>=0, r1=r2q2+r3, r2>r3>=0, …, r_m=r_m+1×q_m+1+r_m+2, где 0=<r_m<r_m+1, r_m+1=r_m+2×q_m+2, то НОД чисел a и b= r_m+2. Д-во: в силу Л 2 мы пол-ем из 1-й строки (a,b)=(b,r1), из 2-й строки (b,r1)=(r1,r2), из 3-й строки (r1,r2)=(r2,r3), из последней строки (r_m,r_m+1)=(r_m+1,r_m+2), В силу Л1 (r_m+1,r_m+2)=(r_m+2). Подставляя эти значения в обратном порядке: (r_m,r_m+1)=r_m+2Þ(a,b)=r_m+2. Св-ва НОД:Т1:Наиб. по величине d>0 делитель чисел а1,а2,…аnÎZ яв-ся НОД этих чисел. Т2: Если каждое из чисел a,b умнож. на одно и тоже число kÎZ, k≠0, то их НОД умнож. на число k. Т3 Если d-НОД a,b, то $ такие x,yÎZ, что выпол-ся след-е рав-во: ax+by=d-представление НОД чисел a,b в виде их линейной ,комбинации. Д-во: Запишем алгоритм Евклида: a=bq0+r1, b=r1q1+r2, r1=r2q2+r3… r_m=r_m+1×q_m+1+r_m+2, r_m+1=r_m+2×q_m+2. Из 1-ого рав-ва: r1=a-bq0=x1a+y1b(x1=1, y1=-q0). Из 2-ого рав-ва: r2=b-q1r1=b-q1(x1a+y1b)=x2a+y2b(x2=-q1x1, y2=1-q1y1)…Продолжая анал-е рассуж-я и выкладки мы получим, что r_m+2=x_m+2a+y_m+2b, где x_m+2, y_m+2ÎZ. r_m+2=d, y_m+2=y, x_m+2=xÞd=xa+yb. НОК. Пусть а1,а2,…аnÎZ, и они отличны от 0, целое число M наз-ся ОК чисел, если оно делится на каждое из этих чисел. M= а1×а2×…×аn. Целое число m наз-ся НОК чисел а1,а2,…аn, если оно явл-ся их ОК и если " их ОК чисел делится нацело на m. Теорема: Число ab/(a,b) явл-ся НОК чисел a и b. Д-во: пусть (a,b)=dÞa=nd, b=td, где (n,t)-взаймнопростые числа. Рас-м ab/(a,b)=ndtd/d=ndt=at=nb. ab/(a,b)=atÞ(ab/(a,b)):a, ab/(a,b)=nbÞ(ab/(a,b)):bÞab/(a,b)-ОК. Пусть M-" ОК чисел a и b>0. Покажем, что М:ab/(a,b). М:aÙМ:b. М:aÞ$SÎZ, M=aS=ndS, М:bÞ$KÎZ, M=bK=tdKÞndS=tdKÞ nS=tK, tK:tÞnS:t, но (n,t)=1ÞS:tÞ$qÎZ, S=tq, M=ndS=ndtqÞM:ndtÚM:ab/(a,b). Т.к М-произвольное и M:ab/(a,b). Св-ва НОК:1) Если каждое из чисел a и b умножить на одно и тоже число k≠0ÎZ, то НОК этих чисел умнож-ся на k. Д-во: [ka,kb]=kakb/(ka,kb)=k(ab/(a,b))=k[a,b]. 2)если a:k и b:k, то [a,b] делится на k. 3)Если [a1,a2…an-1]=M и [m,an]=m, то [a1,a2…an-1]=m. 4) если [a1,a2]=m1, [m1,a3]=m2, …[mn-2,an]=mn-1, то [a1,a2…an]=mn-1. 5) НОК попарно взаймнопростых чисел (a1,a2…an) равно их произведению. Д-во: (a1,a2…an)-попарно взаймнопростые. (ai,aj)=1, i≠j, i=1…n, j=1…n. По 4-му св-ву m1=[a1,a2]=a1a2/(a1,a2)=a1a2, m2=[m1,a3]= a1a2a3/(a1,a2,a3)=a1a2a3. m_n-1=a1a2…an.

1. Понятие поля, свойства полей. Алгебраические и трансцендентные числа. Структура алгебраических расширений полей. Поле комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа. 

Множество Р с алгебраическими операциями «+» и «×» называется полем, если для любых элементов выполняются след. условия: 1) ("a, b, cÎР) (a + b) + c = a +(b + c). 2) ("a, bÎР) a + b = b + a. 3)($nÎР) ("aÎР) a + n = n + a = a. 4) ("aÎР) ($a¢ÎР) a + a¢ = a¢ + a = n. 5) ("a, b, cÎР) a(bc) = (ab)c. 6) ("a, bÎР) ab = ba. 7) ($nÎР) ("aÎР) an = na = a. 8) ("aÎР) ($a¢ÎР) aa¢ = a¢a = n. 9) ("a, b, cÎP) a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca. Свойства поля: Справедливы все свойства групп относительно «+» и «×» во множестве Р*; все свойства колец, 1) в поле не существует делителей 0. Д-во: МОП Пусть в поле есть делители 0, т.е. а ¹ 0 и b ¹ 0, аb = 0. Тогда уравнение ах = 0 имеет 2 решения: х = b и х = а. Это противоречит определению поля (т.к. по определению поля ах = b имеет единственное решение а ¹ 0). Наше предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать. 2) Подмножество Р\{0} – это подмножество ненулевых элементов поля, оно является коммутативной группой относительно «×». Из этого свойства получаются такие следствия: а) всякое поле содержит 1 поля, и притом единственную, б) вместе с каждым ненулевым элементом поле Р содержит единственный обратный ему элемент. В поле можно ввести операцию «:». Частным элементов а и b поля, где b – ненулевой элемент, будем понимать и обозначать a/b = ab^-1. Символом a/b будем обозначать единственное решение уравнения bx = a. 3) –а = (-1)а. 4)1/ab = (1/a)(1/b) (а ¹ 0 и b ¹ 0). 5) (b/a)^-1 = a/b (а ¹ 0 и b ¹ 0). 6) a/b ± c/d = (ad ± bc)/bd. 7) Критерий равенства дробей: a/b = c/d Û ad = bc. Д-во: «®»a/b = ab^-1 = cd^-1 / ×bd Þ (ab^-1)×(bd) = (cd^-1)×(bd) Þ aеd = cеb Þ ad = cb = bc. «»ad = bc/b^-1d^-1 Þ adb^-1d^-1 = bcb^-1d^-1 Þ ab^-1 = cd^-1 Þ a/b = c/d. 8) (a/b)(c/d) = (ac)/(bd). 9) (a/b) + (-a/b) = 0, -(a/b) = -a/b. Д-во: ab^-1 + (-a)b^-1 = (а + (-а))b^-1 = 0b^-1 = 0. 10) ac = bc Ù c ¹ 0 Þ a = b. 11) ab = 1, то а ¹ 0, b = a^-1. 12) ab = 0 Þ a = 0 Ú b = 0. 13) ac/bc = a/b. 14) Пусть в поле Р взяты элементы а, b₁, b₂, b₃, …, b_n, тогда в поле справедлив обобщенный закон дистрибутивности: а(b₁ + b₂ + b₃ + …+ b_n) = аb₁ + аb₂ + аb₃ + …+ аb_n. Пусть дано множество М, которое является подмножеством поля Р (МÍР). Подмножество М поля Р называется подполем поля Р, если оно само является полем относительно тех же операций, что и в Р. Поле Р называют расширением поля М. Примеры: 1) Q – подполе поля R, 2) А = {a + bÖ2/a, bÎQ} – подполе поля R. N и Z – не поля, Q – наименьшее поле. Критерий подполя: Для того, чтобы непустое подмножество М поля Р было подполем необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: 1) ("a, bÎM) a + bÎM. 2) ("a, bÎM) abÎM. 3) ("aÎM) -aÎM. 4) ("aÎM) a^-1ÎM. Теорема: Пересечение подполей является подполем этого поля. Пусть имеется 2 поля (Р₁, +, ×) и (Р₂, Å, Ä). Отображение f: Р₁®Р₂ называется гомоморфизмом, если выполняются след. условия: 1) f(a + b) = f(a) Å f(b), 2) f(a×b) = f(a) Ä f(b). Теорема: гомоморфный образ поля является полем. Множество М, содержащее не менее двух чисел, с обычными операциями «+» и «×» называется числовым полем, если оно замкнуто относительно действий «+», «-», «×», «:». Примеры: Q, R, C, Q[Ön] = {a + bÖn/a, bÎQ}, т.е. $ бесконечное множество числовых полей. Теорема( о наименьшем числовом поле): наименьшее числовое поле есть поле рациональных чисел, т.е. любое числовое поле содержит в себе в качестве подполя поле рациональных чисел.

Алгебраические числа.Пусть PÍF. Число aÎF наз-ся алгеб-м над полем P если a корень не нулевого мн-на из P[x]. a-явл-ся числом алгеб-м, т.к. явл-ся корнем x-a мн-на. Пример: Ö2+Ö3=x, Ö2=x-Ö3, 2=x²-2Ö3x+3, 2Ö3x=x²+1, 12x²=x⁴+2x²+1, x⁴-10x²+1=0, Ö2+Ö3-число алгеб-ое над полем Q чисел, т.к. явл-ся корнем ненулевого мн-на с рац-ми коэф-ми. Это минимальный мн-н для которого это число явл-ся корнем. " мнимое число a+bi алгебраично над полем R чисел. F-расширение поля P, a-алгеб. число над P. Мн-ен наим. степени принадлежащий P[x] для которого a-явл-ся корнем наз-ся минемальным мн-м для a. Св-ва миним. мн-в: пусть a-алгебр. над P число и мн-н pÎP[x] миним. для a. 1)p-неприводим на полем P. Д-во: пусть p-приводим на полем P. p=p1p2, 1£deg p1£p, 1£deg p2£p, т.к. p-миним. мн-н для a, то a для него явл-ся корнем. p(a)=p1(a)p2(a)=0, p1(a)=0Úp2(a)=0, a-корень мн-а p1. a неможет быть корнем, т.к. степень p1<deg p, a неможет быть корнем для p2, т.к. степень p2<deg p. 2)" 2 миним. мн-на алгеб-о числа a ассоциированы. 3)fÎP[x]Ùf(a)=0, p-миним. мн-н для a Þf:p. Д-во: нам надо док-ть что f:p, т.е. (p,f)≠1(МОП). Пусть (p,f)=1, тогда по критерию взаимной простоты (Пусть U,VÎP[x])fU+pV=1, f(a)U(a)+p(a)V(a)=1, f(a)=0, p(a)=0Þ0=1, значит наше предположение неверно, а верно то что нужно док-ть. 4)Если неприводимый мн-н qÎP[x] для которого a-корень, то q явл-ся миним. мн-м для a. 5)Миним. мн-н алгеб-го числа не может иметь кратных корней. 6)Неприводимый мн-н из P[x] явл-ся миним. для каждого из свойх корней. Степень миним. мн-на для a наз-ся степенью этого числа над полем P. Строение простого расширения. Теорема: Пусть F-расширение поля P, a-алгебраична над полем P степени n, тогда простое расширение порожденное эл-ом a есть мн-во. P(a)={b_n-1a^n-1+b_n-2a^n-2+…+b₁a+b₀/b₀,b₁…b_n-1ÎP}. Д-во: sign: M={b_n-1a^n-1+b_n-2 a^n-2+…+b₁a+b₀/b₀,b₁…b_n-1ÎP}, покожем что M=P(a), т.е M-наименьшее поле содержащее Pиa. 1) Покажем что M-поле, т.к. F-поле, и MÍF, то воспользуемся критерием подполя. 1. (" U,VÎM)U=b_n-1a^n-1+b_n-2a^n-2+…+b₁a+b₀/b₀,b₁…b_n-1ÎP, V=c_n-1a^n-1+c_n-2a^n-2+…+c₁a+c₀/c₀,c₁…c_n-1ÎP, U+V=(b_n-1+c_n-1)a^n-1 +…+(b₁+c₁)a+(b₀+c₀), (b_n-1+c_n-1)ÎP и (b₁+c₁)ÎP и (b₀+c₀)ÎP. 2.("UÎM)(-UÎM) -U=(-b_n-1)a^n-1+(-b_n-2)a^n-2 +…+(-b₁)a+(-b₀), U+(-U)=0. 3.(" U,VÎM)(UVÎM) Пусть f-миним. мн-ен для a. Степень у него=n. f=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀, по определению миним. мн-на a-корень. a_naⁿ+a_n-1a^n-1+…+a₁a+a₀=0, aⁿ=(-a_n-1/a_n)a^n-1+…+(-a₁/a_n)a+(a₀/a_n), где (-a_n-1/a_n)ÎP, (-a₁/a_n)ÎP – это число, а значит более высокой степени ÎM. aⁿ⁺¹=aⁿa=(-a_n-1/a_n)aⁿ+…+(-a₁/a_n)a²+(a₀/a_n)aÎM. Найдем произведение U,V. UV=(b_n-1a^n-1 +…+b₁a+b₀)(c_n-1a^n-1+…+c₁a+c₀)=(b_n-1c_n-1)a^2n-2+…+b₀ c₀ÎM, (b_n-1c_n-1),…,b₀c₀ÎP. 4.("U≠0ÎM)($U^-1ÎM) Пусть U=b_n-1a^n-1+b_n-2a^n-2+…+b₁a+b₀, j=b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2+…+b₁x+b₀, p-миним. мн-н для элемента a, тогда a-явл-ся алгебраическим над полем P степени n(усл. теоремы). тогдаj(a)≠0, p-неприводим как миним. мн-нÞ(p,j)=1 или (p неделится на j). 2-ой случай не возможен, по св-вам(3) миним. мн-ов. Т.к. (p,j)=1, то по критерию простоты $ такие мн-ны q и hÎP[x] что выполняется pq+jh=1, p(a)q(a)+j(a)h(a)=1, p(a)=0Þj(a)=1ÎM/h(a)ÎM, для j(a) нашелся максим. элемент ÎM, кот-й явл-ся обратным к нему. тогда по критерию M-поле. 2) Покажем что aÎM, PÍM, число a=0a^n-1+…+0a+0, ÞaÎPÞaÎM, значит PÍM, a=0a^n-1+0a^n-2+…+a+0ÎM. 3). Покажем, что M-миним. из всех полей содержащее a и поле P. Возьмем др. поле L, такое что aÎL, PÍL и покажем, что MÍL. ("UÎM)U= b_n-1a^n-1+b_n-2a^n-2+…+b₁a+b₀/b₀,b₁…b_n-1ÎPÞ(PÍL) b₀,b₁…b_n-1ÎL. aÎLÞa⁰, a¹…a^n-1ÎLÞUÎL. UÎMÞ UÎL. Значит MÍL, тогда по опр. простого расширения P(a)=M. Транцендентные расширения. Пусть F-расширение поля P и aÎF, не явл-ся алгебраич. над полем P, тогда элемент a назавем транцендентным над этим полем. Числа транцендентные над полем рац. чисел наз-т транцендентными. Пример: p, е. Почти все действительные числа транцендентны. В 1851г. Лиувиль фр. мат-ик док-л теорему, кот. давала способность построения транцендентных чисел. Но этой теоремой нельзя док-ть транцендентность числа е. Она была док-на только в 1873г. учеником Леувиля фр. матем-к Эрмитом. Развивая метод Эрмита в 1882г. нем. мат-к Линдеман док-л транцедентность p. В 1874г Кант нашел очень простой способ док-ва сущ-ия транцен-х чисел, более того транцен-х чисел оказалось больше алгебраических.