Дивергенция, циркуляция; ротор вектора, их свойства. Теорема Стокса. Условие потенциальности. Теорема Остроградского — Гаусса. Теорема Гаусса в дифференциальной форме

[Дивергенция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее — насколько расходятся входящий и исходящий поток).

Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учётом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:

дивергенция — это линейный дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность достаточно малой в условиях конкретной задачи окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Оператор дивергенции, применённый к полю , обозначают как

или

.

Определение дивергенции выглядит так:

где Ф_F — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся кнулю (то есть чтобы вся поверхность находилась в бесконечно малой окрестности данной точки, что нужно, чтобы дивергенция была локальной операцией и для чего очевидно недостаточно стремления к нулю площади поверхности и объёма ее внутренности). В обоих случаях подразумевается, что

.

Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат, приведённые в следующем параграфе).

Определение легко и прямо обобщается на любую размерность n пространства: при этом под объёмом понимается n-мерный объём, а под площадью поверхности (n-1)-мерная площадь (гипер)поверхности соответствующей размерности.

Дивергенция - одна из наиболее широко употребимых в физике операций. Представляет собой одно из достаточно немногих базовых понятий теоретической физики и является одним из базовых элементов физического языка.

В стандартной формулировке классической теории поля дивергенция занимает центральное место (в альтернативных формулировках может не находиться в самом центре изложения, но всё равно остается важным техническим инструментом и важной идеей).

В электродинамике дивергенция входит в качестве главной конструкции в два из четырёх уравнений Максвелла. Основное уравнение теории ньютоновской гравитации в полевом виде также содержит в качестве основной конструкции дивергенцию (напряженности гравитационного поля). В тензорных теориях гравитации (включая ОТО, и имея в виду в первую очередь её) основное полевое уравнение (в ОТО, но как правило - так или иначе - и в альтернативных современных теориях тоже) также включает в себя дивергенцию в некотором обобщении. То же можно сказать о классической (т.е. неквантовой) теории практически любого из фундаментальных полей, как экспериментально известных, так и гипотетических.

Помимо этого, как видно из приведённых выше примеров, дивергенция применима и в чисто геометрическом плане, а также - особенно часто - к различным материальным потокам (дивергенция скорости течения жидкости или газа, дивергенция плотности электрического тока и т.п.).

Свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

· Линейность: для любых векторных полей F и G и для всех вещественных чисел a и b

· Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

или

· Свойство, связывающее векторные поля F и G, заданные в трёхмерном пространстве, с ротором:

или

· Дивергенция от градиента есть лапласиан:

· Дивергенция от ротора:

.Циркуляция.

Пусть Λ пространственная кусочно-гладкая линия и пусть a(M) – непрерывное векторное

поле, заданное в Λ⊂Т⊂R3. Обозначим проекции вектора a(M) на координатные оси: P(M),

Q(M), R(M).

Определение. Криволинейный интеграл вида ∫

Λ

P(x, y,z)dx + Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz

,

взятый по направленной линии Λ называется линейным интегралом от вектора а вдоль

линии Λ.

Определение. Циркуляцией векторного поля a=(P, Q, R) по замкнутой линии Λ в области

T⊂R3: называется линейный интеграл по этой замкнутой линии Λ, Ц= ∫

Λ

adr

, где

dr=(dx, dy, dz) – вектор-дифференциал. Таким образом, ∫ ∫

Λ Λ

adr = пр adl

τ

, где τ=(cosα, cosβ,

cosγ) – единичный касательный вектор, dl – элемент дуги Λ, прτa – проекция вектора а на

касательную τ.

Теорема Остроградского-Гаусса

Обозначим через G трехмерное тело, ограниченное кусочно-непрерывной, гладкой, замкнутой поверхностьюS с внешней нормалью. Предположим, что задано векторное поле компоненты которого имеют непрерывные частные производные. Согласно формуле Остроградского-Гаусса, где через обозначена дивергенция векторного поля (она обозначается также символом ). Символ указывает, что поверхностный интеграл вычисляется по замкнутой поверхности. Формула Остроградского-Гаусса связывает поверхностные интегралы второго рода с соответствующими тройными интегралами. Данную формулу можно записать также в координатной форме: В частном случае, полагая , получаем формулу для вычисления объема тела G:

Теорема Гаусса: поток электрической индукции через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, находящихся внутри поверхности: .

Из формулы видно, что размерность электрического потока такая же, как и электрического заряда. Поэтому единицей потока электрической индукции служит кулон (Кл).

Примечание: если поле неоднородно и поверхность, через которую определяют поток, не является плоскостью, то эту поверхность можно разбить на бесконечно малые элементы ds и каждый элемент считать плоским, а поле возле него однородным. Поэтому для любого электрического поля поток вектора электрической индукции через элемент поверхности есть: dФ = . В результате интегрирования полный поток через замкнутую поверхность S в любом неоднородном электрическом поле равен: , где q – алгебраическая сумма всех зарядов, окружённых замкнутой поверхностью S. Выразим последнее уравнение через напряжённость электрического поля (для вакуума): .

Это одно из фундаментальных уравнений Максвелла для электромагнитного поля, записанное в интегральной форме. Оно показывает, что источником постоянного во времени электрического поля являются неподвижные электрические заряды.