Учебно-методическое и информационное

УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Для студентов заочной формы обучения

по _____________________Вычислительной математике__________ ^{наименование дисциплины (модуля)}

для направления подготовки (специальности) ___09.03.01 – «Информатика и вычислительная техника»__________________________________________

^{код и наименование направления подготовки (специальности)}

Общая трудоемкость дисциплины (модуля)

Краткое содержание курса Вычислительная математика

4 семестр

Перечень изучаемых тем дисциплины (модуля):

Тема 1. Теория погрешностей

Особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ. Теоретические основы численных методов. Точные и приближенные числа. Источники и классификация погрешности. Абсолютная и относительные погрешности. Значащие и верные цифры числа. Правила округления. Погрешности арифметических операций. Правила подсчета цифр. Погрешности вычислений значений функций. Допустимая погрешность аргумента по допустимой погрешности функции.

Тема 2. Алгебра матриц.

Некоторые элементы алгебры матриц. Треугольные матрицы и их обращение. Клеточные матрицы и их обращение. Метод окаймления. Элементарные преобразования матриц. Вычисление определителей.

Тема 3.Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (правило Крамера, матричный метод, решение систем с треугольными матрицами). Метод Гаусса по схеме единственного деления. Метод Гаусса в матричном виде. Уточнение корней. Вычисление определителей, обратных матриц методом Гаусса. Метод квадратных корней. Схема Халецкого. Метод ортогонализации.

Тема 4.Решение нелинейных уравнений и систем.

Метод простой итерации. Метод Зейделя. Мера обусловленности системы и матрицы. Отделение корней трансцендентного уравнения. Уточнение корней. Метод проб (метод половинного деления). Метод итераций. Геометрическая интерпретация метода итераций. Условия сходимости. Модификация метода итераций. Метод хорд, касательных, комбинированный метод. Решение нелинейных систем уравнений. Метод Ньютона, метод итераций.

Тема 5. Методы оптимизации

Качественная теория решения алгебраических уравнений. Методы одномерной оптимизации (метод золотого сечения). Методы многомерной оптимизации (покоординатного спуска, градиентного спуска).

Форма текущего контроля

Номер варианта контрольной работы определяется по последней цифре номера зачетной книжки студента. Контрольная работа выполняются в отдельной тетради либо в электронном варианте с использованием языка программирования. Для каждого задания обязательно приводится условие и только после этого решение. При наличии выполненной и защищенной контрольной работы, а также, по итогам работы на лабораторных занятиях студент получает зачет по дисциплине «Вычислительная математика» и допускается к экзамену.

Контрольная работа №1

Задания находятся в электронном пособии «Вычислительная математика» на вкладке «Практика», в соответствующем учебнике. В данном пособии так же подобран теоретический материал по изучаемым темам.

Теория погрешностей

Задания 1, 2, 3, 4, 5.

Алгебра матриц

На выбор или работа №1 или работа №3.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Точные методы:

Работа 1, работа 2.

Приближенные методы:

Метод простых итераций.

5 семестр

Перечень изучаемых тем дисциплины (модуля):

Тема 1. Собственные векторы и собственные значения

Содержание задачи собственных векторов и собственных значений. Развертывание вековых определителей. Метод Данилевского для определения собственных значений. Вычисление собственных векторов по методу Данилевского. Частичные проблемы собственных значений.

Тема 2. Интегрирование функции Формула трапеций. Симпсона для вычисления интеграла.

Тема 3. Интерполяционные формулы Ньютона.

Интерполяционные формулы Гаусса, Бесселя, Стирлинга. Обратное интерполирование.

Тема 4. Численное дифференцирование и интегрирование

Особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ. Теоретические основы численных методов. Точные и приближенные числа. Источники и классификация погрешности. Абсолютная и относительные погрешности. Значащие и верные цифры числа. Правила округления. Погрешности арифметических операций. Правила подсчета цифр. Погрешности вычислений значений функций. Допустимая погрешность аргумента по допустимой погрешности функции.

Контрольная работа №2

Задания находятся в электронном пособии «Вычислительная математика» на вкладке «Практика», в соответствующем учебнике. В данном пособии так же подобран теоретический материал по изучаемым темам.

1. Собственные значения и вектора.

Работа №1.

2. Численное дифференцирование и интегрирование.

Задание 1.

3. Интерполяция.

Задание 1, задание 2.

Форма текущего контроля курсовая работа, экзамен

Номер варианта контрольной работы определяется по номеру зачетной книжки студента. Контрольная работа выполняются в отдельной тетради либо в электронном варианте с использованием языка программирования. Для каждого задания обязательно приводится условие и только после этого решение.

Методические рекомендации по выполнению курсовой работы:

I. Общие положения

Основные цели и задачи курсовой работы:

1. Углубленное изучение некоторых численных методов, изучаемых в курсе лекций, или самостоятельном изучении одного из современных численных методов.

2. Приобретение навыков выполнения сравнительного исследования различных численных методов в решении одной и той же задачи.

3. Приобретение навыков изучения новых возможностей языков программирования.

4. Освоение принципов подготовки и оформления учебной документации.

5. Выработка навыков публичных выступлений.

II. Требования к оформлению курсовой работы

Курсовая работа должна быть оформлена в соответствии с настоящими требованиями, стандартом предприятия, устанавливающим единые требования и порядок оформления учебной текстовой документации, которая включает в себя пояснительные записки курсовых и дипломных работ (проектов), рефератов, РГР, контрольных работ и методические разработки, выполняемые в ЗабГУ, а также ГОСТ. Общие требования к построению и оформлению учебной текстовой документации

Работа выполняется с одной стороны листа белой бумаги формата А4 (210x297 мм) с применением печатающих и графических устройств вывода ЭВМ.

Текст следует размещать, соблюдая размеры полей.

Курсовая работа выполняется по теме выданной (согласованной) с руководителем работы. Не допускается изменение темы курсовой работы менее чем за месяц до её сдачи (защиты).

Не допускается чтения работы на защите.

Контрольные точки:

1) Получение задания под роспись

2) Предоставление руководителю плана курсовой работы (содержания)

3) Черновой вариант

4) Готовый вариант + план презентации

На защиту отводится 7-10 минут.

Структура курсовой работы:

1) Титульный лист

2) Пояснительная записка

3) Задание на курсовую работу

4) Календарный план

5) Реферат

6) Содержание

7) Введение

8) Основная часть работы (2-3 раздела)

9) Заключение

10) Список использованных источников

11) Приложения

Экзамен

Перечень примерных вопросов для подготовки к экзамену четвертый семестр.

1. Погрешности вычислений. Абсолютная и относительная погрешности. Распространение ошибок в вычислениях.

2. Общая формула погрешности функции. Определение погрешности функции по погрешностям аргументов.

3. Обратная задача теории погрешностей. Вычисление абсолютных и относительных погрешностей аргументов по погрешности функции.

4. Решение систем нелинейных уравнений методом простой итерации.

5. Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.

6. Основные понятия алгебры матриц. Действия с матрицами.

7. Норма матрицы. Транспонированная и обратная матрицы.

8. Обращение матрицы методом разбиения ее на клетки.

9. Обращение матрицы методом окаймления.

10. Обращение матрицы методом разбиения ее на произведение двух треугольных матриц.

11. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод исключения Гаусса.

12. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера.

13. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.

14. Вычисление определителя методом Гаусса.

15. Приближенное решение нелинейного уравнения. Отделение корней.

16. Метод половинного деления. Погрешность решения.

17. Метод хорд. Погрешность решения.

18. Метод Ньютона решения нелинейного уравнения. Выбор начальной расчетной точки. Погрешность решения.

19. Метод простой итерации решения нелинейных уравнений. Условие сходимости. Построение сходящегося алгоритма для произвольного уравнения f(x)=0.

Экзамен

Перечень примерных вопросов для подготовки к экзамену пятый семестр.

1.  Нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы.

2.  Развертывание вековых определителей.

3.  Метод Крылова.

4.  Метод А.М. Данилевского.

5.  Исключительные случаи в методе А.М. Данилевского.

6. . Вычисление собственных векторов по методу А.М. Данилевского.

7. Приближенное дифференцирование. Использование интерполяционных полиномов и конечных разностей. Погрешность.

8. Численное интегрирование. Формулы прямоугольников. Погрешности вычислений.

9. Численное интегрирование. Формула трапеций. Погрешности вычислений.

10. Формула Симпсона. Погрешность вычисления интеграла.

11. Аппроксимация и интерполирование функций. Приближение функций при помощи степенных рядов.

12. Обобщенная n-я степень числа х. Первая интерполяционная формула Ньютона. Оценка погрешности.

13. Вторая формула Ньютона. Оценка погрешности.

14. Формула Лагранжа. Погрешность интерполирования.

15. Метод наименьших квадратов.

Курсовая работа

    Студент выбирает любую тему курсовой работы из предложенных ниже, согласовывает ее с ведущим преподавателем и разрабатывает алгоритм пишет программу по данному алгоритму на любом из алгоритмическом языке программирования.

Темы курсовых работ

1. Исследовать метод Гаусса для решения СЛАУ без выбора ведущего элемента и с различными стратегиями выбора (по строке, столбцу, матрице).

2. Исследовать метод квадратных корней и метод Халецкого для решения СЛАУ при суммировании и вычислении корня с обычной и двойной точностью.

3. Исследовать метод Гаусса для вычисления определителя и обратной матрицы без выбора ведущего элемента и с выбором по столбцу.

4. Исследовать метод Гаусса для решения СЛАУ без выбора ведущего элемента и с выбором по столбцу при выполнении обратного хода с обычной и двойной точностью.

5. Исследовать метод вращения для решения СЛАУ при вычислении матрицы вращения с обычной и двойной точностью.

6. Исследовать метод отражения для решения СЛАУ при вычислении скалярных произведения с обычной и двойной точностью.

7. Исследовать метод ортогонолизации для решения СЛАУ при вычислении скалярных произведения с обычной и двойной точностью а также при переортогонолизации.

8. Исследовать метод вращения для решения СЛАУ при выполнении обратного хода с обычной и двойной точностью.

9. Исследовать метод отражения для решения СЛАУ при выполнении обратного хода с обычной и двойной точностью.

10. Исследовать метод вращения для решения СЛАУ с различными стратегиями выбора обнуляемых элементов столбца.

11. Исследовать метод отражения для решения СЛАУ с выбором обнуляемого столбца (с максимальной нормой) и без выбора.

12. Исследовать метод Гаусса для решения СЛАУ и метод оптимального исключения с различными стратегиями выбора ведущего элемента.

13. Исследовать метод Гаусса без выбора ведущего элемента и метод матричной прогонки для решения СЛАУ с блочно-трехдиагональной матрицей.

14. Исследовать метод Гаусса для разряженных матриц с использованием различных методов хранения.

15. Исследовать метод вращений для решения СЛАУ с разряженными матрицами с использованием различных методов хранения.

Оформление письменной работы согласно МИ 4.2-5/47-01-2013Общие требования к построению и оформлению учебной текстовой документации

Учебно-методическое и информационное

Обеспечение дисциплины

Основная литература

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра: учеб. пособие. / В.В. Воеводин. – 4-е изд., стер. – М.: Лань, 2008. – 416 с.: ил.

2. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики: учеб. пособие. / Б.П. Демидович, И.А. Марон – 7-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2009. 672 с.: ил.

3. Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике: учеб. пособие. / И.Б. Петров, А.И. Лобанов. – М.: Интерент-университет информационных технологий, БИНОМ, 2006. – 523 с.

4. Лапчик М.П. Элементы численных методов: учебник. – М.: Академия , 2007. – 224 с.

5. Волков Е.А. Численные методы: учеб. пособие. / Е.А. Волков. – 5-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2008. – 256 с.

Дополнительная литература

6. Калиткин Н.Н. Численные методы: учеб. пособие. / Под ред. А.А. Самарского. – М.: Наука, 1978. – 512 с.: ил.

7. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1980. – 534 с.: ил.

8. Ракитин В.И. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1998. – 383 с.: ил.

9. Самарский А.А. Введение в численные методы: учеб. пособие. /А.А. Самарский. – 3-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2005. – 288 с.

10. Розова Н.В. Вычислительная математика. Электронный учебник, 2005.

11. Формалев В.Ф. Численные методы: учеб. пособие. /В.Ф. Формалев, Д.Л. Ревизников; под ред. А.И. Кибзуна. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 400 с.