Информационное обеспечение (включая перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»)

                        Ю.В.Орлов

Учебно-методический комплекс

дисциплины «Математика»,  2 семестр

Учебно-методическое пособие

                                          2015

МиМ 2.3-                 -15

Орлов Ю.В. Учебно-методический комплекс (УМК) дисциплины «Математика», 2 семестр  для бакалавров заочной формы обучения профиля «Технология машиностроения».

– Новоуральск, изд. НТИ НИЯУ МИФИ, 88 с.

Пособие содержит выписку из рабочей программы дисциплины, контрольную работу (две части), методику оценки и справочник. Выдается студентам заочной формы обучения в начале семестра, вариант – номер студента в списке группы.

УМК составлен ст. преподавателем кафедры Высшей математики НТИ НИЯУ МИФИ Орловым Юрием Владимировичем.

Пособие рассмотрено на заседании кафедры Высшей математики НТИ НИЯУ МИФИ

 

"______"________________ 20 ___ г.       протокол № _________

и рекомендовано  для подготовки бакалавров.

 

Заведующий кафедрой высшей математики

 

Н.А. Носырев ________________  «____» _______ 20____ г.

 

 

                                        Содержание

1	Выписка из рабочей программы дисциплины
	1.1 Структура и содержание учебной дисциплины ……	4
	1.2 Планируемые результаты освоения образовательной программы, относящиеся к учебной дисциплине ………………………………….……………	5
	1.3 Компетенции, реализуемые при изучении дисциплины ……………………………….……………..	6
2	Контрольная работа
	2.1 Часть 1 «Пределы, непрерывность, производная функции одной переменной» …………………………...	8
	2.2 Пример решения части 1 …………………………….	37
	2.3 Часть 2 «Интегрирование» ………………………….	55
3	Методика оценки достижений
	3.1 Балльно-рейтинговая система ………………………	60
	3.2 Вопросы экзамена ……………………………………	61
	3.3 Пример экзаменационного билета ………………….	64
4	Справочник ………………………………………………	65
5	Рекомендуемая литература ……………………………..	81

 

   Пособие предназначено для проведения типовой работы (домашней контрольной работы) в группах второго семестра первого курса заочной формы обучения по профилю «Технология машиностроения». Пособие содержит задания по темам «Предел, непрерывность, производная функции одной переменной» и «Интегрирование». Каждый студент находит свой порядковый номер N в списке группы, по нему выбирает вариант контрольного задания. Если номер N превосходит 30, то студент выполняет вариант задания под номером  N – 30.

   Контрольные выполняются в соответствии со стандартом оформления текстовых документов       (рассмотрена в УМК 1 сем.).    При решении контрольного задания рекомендуется воспользоваться конспектами лекций и  литературой из приведённого в конце пособия списка.           

Выписка из рабочей программы

дисциплины «Высшая математика» для подготовки бакалавров по направлению 15.03.05 – «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» направления «Технология машиностроения» заочной формы обучения

Структура и содержание учебной дисциплины

 Семестр – 2 Трудоёмкость 3,75 ЗЕТ, 135 ч., Экзамен

Дз-2 «Задания по математике, 2 семестр»

часть 1 «Пределы, непрерывность, производная функции одной переменной»   

          выдаётся на 2 нед., сдача на 11 нед.,

часть 2 «Интегрирование» выдаётся на 10 нед., сдача на 18 нед.

Планируемые результаты освоения образовательной программы, относящиеся к учебной дисциплине

В результате освоения дисциплины «Математика», 2 семестр студент должен:

1.3 Компетенции, реализуемые при изучении дисциплины

Навыки, полученные в данной дисциплине, помогают в изучении дисциплин, формирующих компетенцию ОПК-1 «Способность использовать основные закономерности, действующие в процессе изготовления машиностроительных изделий требуемого качества, заданного количества при наименьших затратах общественного труда» и ПК-3 «Способность участвовать в постановке целей проекта (программы), его задач при заданных критериях, целевых функциях, ограничениях, разработке структуры их взаимосвязей, определении приоритетов решения».

            2 Контрольная работа

В КАЖДОМ ВАРИАНТЕ

№1 –4 балла,    №2 – 2 балла,  №3: 1–2 б., 2– 1 б., 3–2 б., 4 –2б., 5 – 16 б.

Вариант №1

№1  Вычислить пределы

1)   при а₁=0, а₂=1, а₃= -1, а₄= ;

2) ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №2

№1  Вычислить пределы

1)   при а₁=0, а₂=2, а₃= -1, а₄= ;

2) ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №3

№1  Вычислить пределы

1)   при а₁=0, а₂=1, а₃= -1, а₄= ;

2) ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №4

№1  Вычислить пределы

1)   при а₁=0, а₂=1, а₃= -1, а₄= ;

2) ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №5

№1  Вычислить пределы

1)   при а₁=0, а₂=1, а₃= -1, а₄= ;

2) ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №6

№1  Вычислить пределы

1)   при а₁=0, а₂=2, а₃= -1, а₄= ;

2) ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №7

№1  Вычислить пределы

1) ;

2) ;

3)   при а₁=0, а₂=2, а₃= -1, а₄= .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №8

№1  Вычислить пределы

1) ;

2)   при а₁=0, а₂=1, а₃= -1, а₄= ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №9

№1  Вычислить пределы

1) ;

2) ;

3)   при а₁=0, а₂=1, а₃= -1, а₄= .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №10

№1  Вычислить пределы

1)   при а₁=0, а₂=2, а₃= -1, а₄= ;

2) ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №11

№1  Вычислить пределы

1) ;

2)   при а₁=0, а₂=1, а₃= -1, а₄= ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

   Вариант №12

№1  Вычислить пределы

1)   при а₁=0, а₂=2, а₃= -1, а₄= ;

2) ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №13

№1  Вычислить пределы

1) ;

2)   при а₁=0, а₂=1, а₃= -1, а₄= ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №14

№1  Вычислить пределы

1)   при а₁=0, а₂=2, а₃= -1, а₄= ;

2) ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №15

№1  Вычислить пределы

1) ;

2) ;

3)   при а₁=0, а₂=2, а₃= -1, а₄= + .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №16

№1  Вычислить пределы

1) ;

2)   при а₁= -2, а₂=2, а₃= -1, а₄= ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №17

№1  Вычислить пределы

1) ;

2)   при а₁=0, а₂=1, а₃= -1, а₄= ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №18

№1  Вычислить пределы

1)   при а₁=0, а₂=2, а₃= -1, а₄= ;

2) ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов.

№3

Вариант №19

№1  Вычислить пределы

1) ;

2)   при а₁=0, а₂=1, а₃= -1, а₄= ;

2) ;

3).

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №20

№1  Вычислить пределы

1) ;;

2) ;

3)   при а₁=0, а₂=1, а₃= -1, а₄= .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №21

№1  Вычислить пределы

1) ;

2) ;

3)   при а₁=0, а₂=3, а₃= -1, а₄= .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №22

№1  Вычислить пределы

1)   при а₁=0, а₂=2, а₃= -1, а₄= ;

2) ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №23

№1  Вычислить пределы

1) ;

2) ;

3)   при а₁=0, а₂=-2, а₃= -1, а₄= .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №24

№1  Вычислить пределы

1) ;

2)   при а₁=0, а₂=1, а₃= -1, а₄= ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №25

№1  Вычислить пределы

1) ;

2) ;

3)   при а₁=0, а₂=1, а₃= -1, а₄= .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №26

№1  Вычислить пределы

1)

2)   при а₁=0, а₂=2, а₃= -1, а₄= ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №27

№1  Вычислить пределы

1) ;

2)   при а₁=0, а₂=1, а₃= -1, а₄= ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №28

№1  Вычислить пределы

1) ;

2) ;

3)   при а₁=0, а₂=2, а₃= -1, а₄= .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №29

№1  Вычислить пределы

1) ;

2)   при а₁=6, а₂=1, а₃= -1, а₄= ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

Вариант №30

№1  Вычислить пределы

1)   при а₁=0, а₂=2, а₃= -1, а₄= ;

2) ;

3) .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

2.

     2.2 Пример решения части 1

                             Вариант №31

№1  Вычислить пределы

1) ;

2) ;

3)   при а₁=1, а₂=0, а₃= 3, а₄= - .

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

№3

1. Найти производную функции 

 ;

2. Найти , составить уравнения касательной и нормали

при     для  ;

3. Найти производную функции

а)  ;  б)  ;

4. Вычислить приближенно

  ;

5. Провести полное исследование функции и построить график

 а)  ;               б)  .

№1  Вычислить пределы

1.1) .

Решение:

=0;

1.2) .

Решение:

=0;

1.3)        при а₁=1, а₂=0, а₃= 3, а₄= - .

Решение:  1.3.1 ;

1.3.2 ;

Можно вычислить предел частного двух многочленов из условия, что наибольшая степень  дроби  находится в знаменателе.     Такой  предел на бесконечности равен нулю.

Ответ: 1) 0,5; 2) ; 3) ; 4) 0.

№2  Найти область определения функции у=f(x),

, построить её график.

Исследовать функцию на непрерывность и определить вид её  точек разрыва (вычислив каждый из частичных пределов).

Решение :

2.1) Значения функции f(x) можно вычислить при , , . Функция f(x) на каждом участке области определения задана (нет точек, в которых невозможно вычислить f(x) ), объединение всех участков даёт для функции f(x) область определения  т.к.              ;

2.2) Построим график функции, построив графики

·  при ,

·   при ,

· y₃=1+2cos(2x) при .

                                                                                   График  – прямая, с угловым коэффициентом k=1 и сдвигом вниз относительно начала координат на b=3. 

Прямую можно построить и по двум точкам:

а) взять х₁ и вычислить у(х₁), например

при х= -5 у(-5)= -5 -3= -8;

б) взять х₂ и вычислить у(х₂), например

при х= -1 у(-1)= -1 -3= -4;

в) построить прямую по найденным точкам ( -5; -8) и (-1; -4).

График функции изобразим на промежутке , на котором задана функция у₁.

График функции  показан на рисунке 1.

График  – гипербола, получаемая из  растяжением в 2 раза вдоль оси ОY вместе с переворотом относительно ОХ, сдвигом влево на 1             и вверх на 5 единиц.

Функция  задана на интервале .

График   показан на рисунке 2.

График  получается из графика  сжатием в 2 раза вдоль оси ОХ, растяжением в 2 раза вдоль оси ОY и сдвигом вверх на 1 единицу. График   показан на рисунке 3.

Функция  задана на отрезке .

2.3) Исследуем функцию f(x) на непрерывность.

Функция  задана на отрезке . Функция  является элементарной, из чего следует непрерывность такой функции в точках соответствующего интервала (-5; -1).

Функция  задана на интервале , в его точках функция  является элементарной, из чего следует непрерывность такой функции.

Функция y₃=1+2·cos(2x) задана на отрезке . Функция  является элементарной, из чего следует непрерывность такой функции. в точках соответствующего интервала .

Вывод: Разрывы функции f(x)  возможны только на границах участков области определения.

Рассмотрим каждую из границ области определения х₁= -5, х₂= -1, х₃=0, х₄= .

2.3.1)  х= -5, .

Функция f(х) задана только при x -5,

предел справа  существует, конечен   и равен f(-5) т.е f(x) в точке х=-5 непрерывна справа;

2.3.2) х= -1, .

Предел слева ,

предел справа .

Среди частичных пределов в точке х= -1 имеется бесконечный, х= -1 является точкой разрыва второго рода;

2.3.3) х=0, .

Предел слева ,

предел справа .

В точке х=0 частичные пределы совпадают и равны значению функции в такой точке, следовательно х=0 – точка непрерывности функции f(x);

2.3.4) х= , .

Функция f(х) задана только при x ,

предел слева  существует, конечен   и равен f( ) т.е f(x) в точке х=  непрерывна слева.

С учётом выполненных пунктов построим график функции  f(x).

График изображён на рисунке 4.

№3  

3.1)  Найти производную функции  .

 Решение:

=             

Ответ: .

3.2) Найти , составить уравнения касательной и нормали

  при     для  ;

 Решение:

                                Уравнение нормали ,

                                                     ,

                                                              .

                                Уравнение касательной ,

                                                     , 

                                                                      .

Ответ: При  t=0 ,      касательная ,          

                                                                            нормаль ;

3.3) Найти производную функции   

а)  ;                б) .

Решение:

а) . 

Используем логарифмическое дифференцирование:

;

 б) .

   Уравнение неявно задает функцию у=у(х), из него может быть найдена производная . Продифференцируем обе части уравнения по переменной х, учитывая производную сложной функции . При этом получим уравнение .

Сгруппируем слагаемые, содержащие  и перенесём остальные слагаемые в правую часть равенства  ,

из чего получаем             .

Ответ: а) , 

             б) .

3.4) Вычислить приближенно .

Решение:

Пусть (перевели градусы в радианы).

Для такой функции .   

Формула приближенных вычислений  .

                                                             ( по первому приближению)          

Возьмём ,

тогда