Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Вынужденные колебания. Резонанс
Рассмотрим случай колебаний, когда на точку, кроме восстанавливающей силы F, действует ещё периодически изменяющаяся со временем сила , проекция . (3.43) Эта сила называется возмущающей; колебания, происходящие под ее действием, – вынужденными. Величина p называется частотой возмуща-ющей силы. Возмущающая сила может изменяться и по другому закону. Мы ограничимся, когда возмущающая сила изменяется по гармоническому закону. Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления Дифференциальное уравнение движения имеет вид . Разделим обе части на m, полагая, что . (3.44) Тогда, учитывая обозначения (3.30), приведем уравнение движения . (3.45) Выражение (3.45) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний точки, при отсутствии сопротивления. Если решение состоит из общего и частного, то . Полагая, что , частные решения находим как , где А – постоянная величина, которую надо подобрать так, чтобы уравнение (3.45) обратилось в тождество. Подставив и в формулу (3.45), имеем:
. Таким образом, частным решением будет выражение . (3.46) Общее решение уравнения (3.45) имеет вид , (3.47) где a и – постоянные интегрирования. Решение (3.47) показывает, что колебания точки складываются из собственных (с амплитудой а, зависящей от начальных условий, и частотой k) и вынужденных (с амплитудой А и частотой р)колебаний. Благодаря наличию тех или иных сопротивлений собственные колебания будут довольно быстро затухать, поэтому основным значением в рассматриваемом движении имеют вынужденные колебания, закон которых даётся уравнением (3.46). Частота р вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы. Амплитуду этих колебаний, если разделить числитель и знаменатель на , можно представить в виде , (3.48) где согласно уравнениям (3.30) и (3.44) , т. е. – величина статического отклонения точки под действием силы . Как видим,
Рис. 3.14 (h = 0)
При р = 0 (или ) амплитуда А равна (3.48); р = k амплитуда А становится очень большой; – очень малой. В случае, когда р = k, т. е. частота возмущённой силы равна частоте собственных колебаний, имеет место так называемое явление резонанса. РАЗДЕЛ IV. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И ТВЕРДОГО ТЕЛА ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ СИСТЕМЫ Механическая система Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки зависит от положения и движения всех остальных. Материальное тело будем рассматривать как систему материальных точек, образующих это тело. Примером может служить любая машина или механизм, в которой Совокупность тел, между которыми нет никаких сил взаимодействия (например, группа летящих самолетов), механическую систему Внешними называют силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в состав данной системы. Внутренними являются силы, действующие на точки системы со стороны других точек или тел этой же системы. Внутренние силы обладают следующими свойствами: 1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равна нулю. По третьему закону динамики любые две точки системы действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами. Так как аналогичный результат имеет место для любой пары точек системы (рис. 4.1), то .
Рис. 4.1
2. Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равна нулю. Возьмем произвольный центр О. Как видно из рис. 4.1, . Аналогичный результат получится при вычислении моментов относительно оси .
Масса системы. Центр масс Движение системы, кроме действующих сил, зависит от ее суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образовавших систему: . В однородном поле тяжести, для которого , вес любой частицы тела будет пропорционален ее массе, поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. , (4.1) где mк – массы материальных точек; хк, yк, zк – координаты этих точек. Геометрическая точка С, координаты которой определяются формулами (4.1), называется центром масс. Если положение центра масс определять его радиусом-вектором , то из равенств (4.1) следует: , (4.1/) где – радиусы-векторы точек, образовавших систему. В однородном поле тяжести положение центра масс и центра тяжести совпадает. Понятие о центре тяжести как о точке, через которую проходит линия действия равнодействующих сил тяжести, имеет значение только для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести. Понятие же о центре масс как о характере распределения масс в системе материальных точек или тел, имеет смысл для любой системы материальных точек или тел.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-30; просмотров: 236. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |