Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Теоретические вопросы и аналитические задачи.Стр 1 из 3Следующая ⇒
Задачи new Задачи и вопросы. Раздел 1. Преобразование Фурье Теоретические вопросы и аналитические задачи. 1. Доказать теорему Парсеваля для двух функций F1(t),F2(t) . 2. Доказать теорему о свертке во временном и частотном представлении. 3. Используя теорему о свертке и теорему Парсеваля вычислить интегралы: . 4. Вывести интерполяционную формулу Котельникова-Шеннона в частотной области. 5. Почему физически не может быть реализован, фильтр, соответствующий частотной селектирующей функции ? Напоминание: 6. Дискретизация с усреднением ([7], т. 1, с. 86). Часто в процессе оцифровки сигнала выполняется операция усреднения с некоторым временем (где - период дискретизации), при этом значение в отсчете определяется выражением . Введение усреднения эквивалентно фильтрации сигнала, что приводит к изменению, как модуля спектра сигнала, так и фазы спектра. Оценить максимальную величину , при которой влияние фильтрации на модуль спектра меньше 1% для всех частот сигнала вплоть до ; какой сдвиг фаз такой фильтр будет давать на частоте Ответ: . 7. Субдискретизация (обобщение теоремы Котельникова-Шеннона) ([7], т. 1, с. 86). Рассмотрим узкополосный с сигнал с несущей частотой , спектральная плотность мощности которого отлична от нуля только на интервалах частот и . Вследствие узкополосности сигнала можно подобрать частоту дискретизации ниже значения и при этом не будет происходить искажение спектра дискретного сигнала (это аналогично стробоскопическому эффекту). Наиболее просто это можно графически получить в случае . Показать, что выполнение условия гарантирует отсутствие искажения спектра дискретного сигнала эффектами наложения, здесь - частота дискретизации, - порядок субдискретизации. Построить фильтр, с помощью которого из дискретного сигнала можно восстановить непрерывный сигнал, если частота дискретизации удовлетворяет вышеприведенному условию. 8. Используя субдискретизацию (см. задачу 7), найти минимальную частоту дискретизации и максимальный порядок субдискретизации , а также порядок субдискретизации , соответстующий частоте дискретизации равной F=41 кГц для следующего случая: F0=106 Гц, Df=5.103 Гц. Ответ: Fmin=4.42Df, kmax=99; k=48. 9. Пусть мы имеем дискретную функцию , заданную в отсчетов (j=0,1,...,N). Для уменьшения расстояния между спектральными компонентами дополняем эту функцию нулями в количестве штук. Какой алгоритм БПФ требует меньшего количества операций для получения Фурье-образа расширенной функции: с прореживанием по отсчетам или по гармоникам ? 10. Алгоритм Рейдера предназначен для секционированного вычисления свертки или автокорреляционной функции сигнала с половинным перекрытием секций с помощью КПФ. Записать алгоритм и оценить количество операций необходимых для получения по K секциям значений корреляционной функции в отсчетах k=0,1,..,M. Примечание. Если выбирать длину секции , где - максимальный временной сдвиг в корреляционной функции, то можно значительно сократить количество операций, воспользовавшись свойством ДПФ: Фурье-преобразование для -точечной последовательности равно , где - Фурье-преобразование последовательности . Для вычисления автокорреляционной функции на K секциях длиной каждая необходимо вычислить -точечных КПФ и одно -точечное обратное КПФ. 11. Пользуясь свойствами Фурье преобразования показать, что . 12. Детектирование. Идеальный двухполупериодный выпрямитель осуществляет операцию . Пусть сигнал на входе выпрямителя имеет вид , где . a) Показать, что спектр сигнала на выходе имеет вид . б) Как восстановить после детектирования сигнал 13. Амплитудная модуляция. Получить спектр амплитудно-модулированного сигнала . Проиллюстрировать, используя спектральное представление, восстановление с использованием однополупериодного выпрямителя и фильтра низких частот. 14. Синхронное детектирование. Восстановить в амплитудно-модулированном сигнале можно с помощью, как выпрямителя , так и синхронного детектора с использованием несущей частоты . Получить спектр сигнала на выходе синхронного детектора, выполняющего операцию . Допустим, что в тракте передачи амплитудно-модулированного сигнала до детектора аддитивно к сигналу добавляются шумы , спектр которых имеет подъем в области низких частот . Показать, что восстановление с использованием синхронного детектора происходит с более высоким отношением сигнал/шум в сравнении с использованием выпрямителя. 15. Томография. Пусть в ограниченной области плоскости . Рассмотрим прямую , проходящую под углом к оси на расстоянии от начала координат. Введем интеграл вдоль этой прямой – томографическую проекцию . Доказать, что . Предложить простейший алгоритм восстановления по томографическим проекциям для с использованием ДПФ. 16. Покажите, что передаточная функция имеет максимум на частоте . 17. Получите передаточную функцию фильтра . Ответ: . 18. Получите передаточную функцию фильтра: , N – четное, - коэффициенты разложения бинома Ньютона. Ответ: 19. Пусть фильтр низких частот задается разностным уравнением: . При каком значении параметра коэффициент передачи падает в 2 раза на заданной частоте В ; шаг дискретизации Т. . Ответ: . 20. Докажите, что фазочастотая характеристики КИХ фильтров с симметричными коэффициентами линейно зависит от частоты. 21. Докажите, что действие КИХ фильтра с симметричными коэффициентами порядка К приводит к задержке сигнала на его выходе на величину . 22. Предположим, что Фурье-образ функции отличен от нуля на интервале . Получите формулу, которая восстанавливает по усредненным значениям на интервале : . 23. Пусть и - два целых числа с большим количеством цифр. Получить связь между произведением и сверткой. Показать, как использовать БПФ для вычисления этого произведения. 24. Децимация. Пусть и целое. Показать что . Определить достаточное условие для восстановления по . Найти интерполяционный алгоритм. 25. Предположим, что - изображение с ненулевыми пикселями при . Пусть - сепарабельный фльтр с ненулевыми коэффициентами . Описать алгоритм получения двумерной свертки и подсчитать количество операций для его выполнения. При каких значениях целесообразно применять двумерное преобразование Фурье для вычисления свертки. 26. Пусть есть изображение, которое имеет скачок (разрыв) величиной А вдоль прямой, проходящей через начало координат и составляющей угол θ с осью x1. Изображение просматривается через пространственный фильтр с полосой . Получить выражение для осцилляций Гиббса , как функции параметров . 27. Показать, что преобразование Фурье функции есть . 28. Пусть . Показать, что 29. Пусть вещественная функция имеет носитель отличный от нуля в области . Получить интерполяционную формулу, которая восстанавливает по . 30. Вещественная функция имеет носитель отличный от нуля в области . Найти интерполяционную формулу, восстанавливающую по . Замечание. Усреднение функции по периоду дискретизации есть свертка ее с функцией . Показать, что система функций образует ортонормальный базис, по которому можно разложить исходную функцию. 31. Показать, что есть фазовый фильтр, т.е. . 32. Получить аналитическую часть сигнала , где - вещественная функция, . Вычислительные задачи. 1. С помощью БПФ количественно исследовать влияние формы импульса на ширину спектра . Эффективная длительность импульса . Эффективная ширина полосы импульса . Найти численный коэффициент С в соотношении неопределенности для следующих вариантов: Вариант 1. а) прямоугольный, длительностью ; б) треугольный, длительностью ; в) гауссовый ширины . Вариант 2. а) прямоугольный, длительностью ; б) косинус ; в) гауссовый ширины . Вариант 3. а) прямоугольный, длительностью ; б) косинус ; в) гауссовый ширины . Вариант 4. а) прямоугольный длительностью ; б) супергауссовый Вариант 5. Вейвлет Хаара. 2. Используя БПФ, вычислить форму сигнала . Спектр сигнала постоянен и отличен от нуля в полосе частот (а); внутри этого интервала спектр имеет треугольную форму (б); имеет постоянный спектр в полосе частот (в). Оценить длительность сигнала в зависимости от . 3. Используя БПФ, найти спектр излучения атома, полагая, что излучение может быть представлено затухающей синусоидой с частотой Ώ и затуханием τ . Оценить ширину спектра излучения He-Ne лазера, для которого время между столкновениями атома . 4. Реализовать обобщенный алгоритм БПФ для выборки, длина которой . Рассмотреть случай . Продемонстрировать работу алгоритма на каком-либо простом сигнале. 5. Получить графики сигналов и их спектры для частотной модуляции. Рассмотреть случаи: а) линейный чирп , б) квадратичный чирп , в) гиперболический чирп . Проанализировать изменение вида спектров в зависимости от параметров . 6. Пусть фильтр низких частот задается разностным уравнением: ( ). Получите: а) значения параметра для Т=0.005 и В=3.125, 6.25, 12.5, 20, 25, 100 Гц; б) вычислите для ; в) вычислите и постройте графики коэффициента усиления и фазы передаточной функции для Гц. 7. Рассчитать, используя БПФ, спектр фазо-модулированного сигнала , где - гармоническая (а) и периодическая функция треугольной формы (б) с единичной амплитудой и частотой ; 8. Рассчитать, используя БПФ, спектр частотно-модулированного сигнала , где - гармоническая (а) и периодическая функция треугольной формы (б) с единичной амплитудой и частотой ; 9. Томография. Реализуйте на примере простой функции (например, двумерной функции Гаусса ) получение томографических проекций (см. задачу 15 из аналитического раздела). Реализуйте простейший алгоритм восстановления по томографическим проекциям. 10. Перейти от непрерывной функции к дисретной, выбрав шаг дискретизации такой, чтобы исключить эффект наложения частот. Используя алгоритм БПФ, получить спектр дискретизованной функции и убедиться в отсутствии эффекта наложения частот.
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-10; просмотров: 240. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |