Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Вычисление обратной матрицы методом ГауссаСтр 1 из 3Следующая ⇒
Из определения обратной матрицы A · A − 1 = E следует, что для вычисления матрицы, обратной квадратной матрице n –го порядка A , нужно решить матричное уравнение
где X — неизвестная обратная матрица. Это матричное уравнение эквивалентно n системам n линейных уравнений n–го порядка с одной и той же основной матрицей системыA , но разными столбцами свободных членов, а именно, столбцами единичной матрицы. Поэтому решать все эти системы методом Гаусса удобно одновременно. Таким образом, для вычисления обратной матрицы методом Гаусса 1. Дописываем единичную матрицу E к матрице A (для удобства отделяя ее чертой). 2. С помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу A к единичной. Тогда на месте единичной матрицы окажется искомая обратная матрица:
Если матрица A не может быть приведена к единичной, то это означает, что она вырожденная и, следовательно, не имеет обратной (следовательно, можно не проверять заранее, что det A ≠ 0 ).
| |||||
Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных. С помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы Dсистемы матрицу A системы приводят к ступенчатому виду: Если среди чисел есть отличные от нуля, система несовместна. Если то: 1) при r = n исходная система равносильна системе: имеющей единственное решение (сначала находим из последнего уравнения , из предпоследнего . | Общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0 (где А, В, С могут иметь любые значения, лишь бы коэффициенты А, В не были нулями оба сразу) представляет прямую линию. Всякую прямую можно представить уравнением этого вида. Поэтому его называют общим уравнением прямой. Если А=0, то есть уравнение не содержит х, то оно представляет прямую, параллельную оси ОХ. Если В=0, то есть уравнение не содержит у, то оно представляет прямую, параллельную оси ОY. Когла В не равно нулю, то общее уравнение прямой можно разрешить относительно ординаты у, тогда оно преобразуется к виду y=ax+b (где a=-A/B; b=-C/B). Аналогично, при А отличным от нуля общее уравнение прямой можно разрешить относительно х. Если С=0, то есть общее уравнение прямой не содержит свободного члена, то оно представляет прямую, проходящую через начало координат. Уравнение прямой с угловым коэффициентом Если в общем уравнении прямой , то его можно записать в виде уравнения с угловым коэффициентом где угловой коэффициент, a – угол, образованный прямой с положительным направлением оси , – свободный член, равный ординате точки пересечения прямой с осью . Однозначно определить прямую можно, задав одну точку и угловой коэффициент. А именно, уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом , определяется по формуле . | |||||
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки В соответствии с условием, нам известны координаты двух точек и . Данная задача сформулирована корректно, так как известно, что через две точки проходит одна и только одна прямая линия. Рисунок 1.4. Прямая, проходящая через две заданных точки Если учесть, что уравнение (1-7) прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении, определяет все прямые, проходящие через точку . Из них, нужно выбрать одну, которая будет проходить и через точку . Для этого нужно определить конкретное значение углового коэффициента K искомой прямой. Его значение можно определить, если в (1-7) подставить координаты точки , которая принадлежит искомой прямой , И искомое значение k равно . Подставим найденное значение углового коэффициента K в уравнение (1-7). После преобразований получим: (1-8) Это и есть уравнение искомой прямой, проходящей через две заданные точки. Кривые второго порядка. Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем случае Ах2 + 2Вху +Су2 + 2Дх + 2Еу +F = 0, где А, В, С, Д, Е, F – действительные числа и по крайней мере одно из чисел А2+В2+С2≠0. Окружность Центр окружности – это геометрическое место точек в плоскости равностоящих от точки плоскости С(а,b). Окружность задается следующим уравнением: Где х,у – координаты произвольной точки окружности, R - радиус окружности. Признак уравнения окружности 1. Отсутствует слагаемое с х,у 2. Равны Коэффициенты при х2 и у2 Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек в плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости называется фокусами (постоянная величина). Каноническое уравнение эллипса: Х и у принадлежат эллипсу. а – большая полуось эллипса b – малая полуось эллипса У эллипса 2 оси симметрии ОХ и ОУ. Оси симметрии эллипса – его оси, точка их пересечения – центр эллипса. Та ось на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точка пересечения эллипса с осями – вершина эллипса. Коэффициент сжатия (растяжения): ε = с/а – эксцентриситет (характеризует форму эллипса), чем он меньше, тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси. Если центры эллипса находятся не в центре С(α, β) Гипербола Гиперболой называется геометрическое место точек в плоскости, абсолютная величина разности расстояний, каждое из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная , отличная от ноля. Каноническое уравнение гиперболы Гипербола имеет 2 оси симметрии: а – действительная полуось симметрии b – мнимая полуось симметрии Ассимптоты гиперболы: Парабола Параболой называется геометрическое место точек в плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой. Каноническое уравнение параболы: У2=2рх, где р – расстояние от фокуса до директрисы (параметр параболы) Если вершина параболы С (α, β), то уравнение параболы (у-β)2=2р(х-α) Если фокальную ось принять за ось ординат, то уравнение параболы примет вид: х2=2qу Бесконечно малые и бесконечно большие функции Важную роль в математическом анализе играет понятие бесконечно малых (б.м.) функций. О: Функция у = а(х) называется б.м. при х а, если Функция называется б.б. при если для любого числа М > 0 существует такое число зависящее только от М, что из неравенства |
При А 0, В 0 и С 0 получаем уравнение прямой в отрезках на осях:
где a = – C / A , b = – C / B . Эта прямая проходит через точки ( a, 0 ) и ( 0, b ), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной a и b .
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
1). Пусть прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями
.
Задача об определении угла между прямыми сводится к определению угла между нормальными векторами этих прямых:
(6.6)
Условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно коллинеарности их нормальных векторов :
.
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 получаем из формулы (6.6) при
cos = 0:
.
2). Если прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями
,
то рассматривая их направляющие векторы , аналогично случаю 1).имеем:
(6.7)
Условие параллельности прямых L1 и L2 :
.
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 :
3). Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом .
Отсюда . Т.е. угол между прямыми L1 и L2 определяется по формуле: (6.8) Если в этой формуле поменять местами k1 и k2 , то формула определит нам угол между прямыми, смежный к прежнему углу. Т.к. эти два угла в сумме равны и их тангенсы отличаются только знаком. Прямые параллельны, если tg = 0, т.е. k1 = k2 . Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 получим из формулы (6.8), т.к. tg не существует при k1 k2 + 1 = 0. Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 запишем в виде: . |
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 213. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |