Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Различные приемы интегрирования тригонометрических функций.
1) Интегралы вида ,где и − целые числа. Рассмотрим следующие случаи: а) Если − нечетное число, то применяется подстановка ; б) Если и − четные неотрицательные числа, то подынтегральное выражение преобразуют с помощью формул понижения степени: , , . в) Если и − либо оба четные, либо оба нечетные, причем хотя бы один из них отрицателен, то применяют подстановку . 2) Интегралы вида , где − рациональная функция. С помощью универсальной тригонометрической подстановки , откуда , , , интегралы рассматриваемого вида приводятся к интегралам от рациональных алгебраических функций. 3) Интегралы вида , , . Такие интегралы легко вычисляются, если применить следующие тригонометрические формулы: , , . Примеры 18.Вычислить интегралы: 1) . Решение:Применим подстановку и воспользуемся формулой . Тогда 2) . Решение: Воспользуемся подстановкой . Имеем 3) . Решение: Подынтегральная функция нечетна относительно синуса, поэтому сделаем подстановку . Тогда 4) . Решение: Используя формулы понижения степени, получим
5) . Решение: В данном случае применим подстановку и формулу . Тогда 6) , Решение: Представим числитель по формуле и разделим почленно числитель на знаменатель, получим . Для нахождения первого интеграла воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой , имеем Для нахождения второго интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Полагая , , имеем , . Следовательно, Итак, находим искомый интеграл 7) , Решение: Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой . Имеем .
8) . Решение: Воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения в сумму, получим
Задания для самостоятельной работы по теме «Интегрирование тригонометрических функций». Задание. Вычислить следующие интегралы:
Тема19. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ. Различные приемы интегрирования иррациональных функций. 1) Если корни в подынтегральном выражении имеют вид , то с помощью подстановки , где − наименьшее общее кратное показателей корней, т.е. чисел , подынтегральное выражение преобразуется в рациональную дробь. 2) Интегралы вида преобразуются в интегралы от рациональных дробей с помощью подстановки . 3) Интегралы вида рационализируются с помощью подстановки . 4) Интегралы вида а) ,б) ,в) интегрируются с помощью тригонометрических подстановок: а) или , б) или , в) или . Примеры 19.Вычислить интегралы: 1) . Решение: Здесь входит в подынтегральную функцию с показателями корней 2 и 3. Поэтому применяем подстановку , откуда . Получился интеграл от рациональной дроби. Выделяем целую часть: . Для нахождения последнего интеграла разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби: , откуда . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , находим Следовательно, 2) , Решение: Полагая , имеем где . 3) . Решение: Положим , откуда , . Следовательно, . Для вычисления полученного интеграла представим подынтегральную дробь в виде . Таким образом, где . 4) . Решение: Положим . Тогда , . Имеем Так как , то , . Поэтому 5) . Решение: Полагаем . Откуда , . Следовательно, |
||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 240. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |