Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Основные числовые множестваСтр 1 из 2Следующая ⇒
Операции над множествами Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. Объединением (суммой)множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В. Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА). Основные числовые множества Натуральные числа — числа, которые мы используем для счёта объектов. Множество натуральных чисел обозначается N Простые числа - натуральные числа, имеющие ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. Целые числа - множество целых чисел есть ноль и «плюс-минус натуральные». Рациональные числа - числа, которые можно представить дробью m/n, где m— целое число, а n— натуральное. Действительные (вещественные) числа - расширение множества рациональных чисел. Иррациональные числа — это все вещественные числа, которые не являются рациональными. Множество X R называется ограниченным сверху, если существует такое число b R, что для всех x X имеет место неравенство x < b. Множество X называется ограниченным снизу, если существует такое число a R, что для всех x X выполняется неравенство x > a. Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным. Множество X называется неограниченным сверху, если для любого числа b R найдется такой x X, что x > b. Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. Пусть задано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология. Множество называется окрестностью точки , если существует открытое множество такое, что . 24. Понятие функции. Способы задания функции. График функции. Обратная функция. Элементарные функции. Функция — это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствуетединственныйэлемент другого множества. Функцию можно задать несколькими способами: аналитическим (с помощью формулы), графическим, табличным, описанием с помощью словесной формулировки). График функции — множество точек, у которых абcциссы являются допустимыми значениями аргумента , а ординаты — соответствующими значениями функции . Функцию y=f(x), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции). Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. 25. Числовая последовательность и ее предел. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел x1, x2,…, xn, следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого xnзадается как функция целочисленного аргумента n, то есть xn = f(n) Теорема: Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Число a называется пределом последовательности {xn} если для любого числа ԑ> 0 существует такой номер n0 = n0(ԑ), что при n ≥ n0 выполняется неравенство |xn – a| <ԑ. Теоремы: Предел суммы/разности двух последовательностей равен сумме/разности пределов от каждой из них, если последние существуют; Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов от каждой из них, если пределы сомножителей существуют; Предел отношения двух последовательностей равен отношению пределов от каждой из них, если эти пределы существуют и предел знаменателя не равен нулю; Последовательность называется бесконечно малой последовательностью (б.м.п.), если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство: Последовательность называется бесконечно большой (б.б.п.), если для любого существует номер такой, что для любого выполняется неравенство: Последовательность называется сходящейся, если существует такое вещественное число а, что последовательность является бесконечно малой. При этомвещественноечисло а называется пределом последовательности Свойства сходящихся последовательностей 1)Если последовательность { an } сходится, то ее предел единственный.2) Если последовательность сходится, то она ограничена 3) Если последовательность { an } сходится к числу a 0, то вся последовательность { an } лежит вне окрестности нуля (0), начиная с некоторого номера. 4) Если для всех n, an bn и , , то 5) Если для всех n, xn zn yn и то 26. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса.Последовательность называется монотонной, если она убывающая или возрастающая. Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого , Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого , Теорема Вейерштрасса: Если последовательность является нестрого возрастающей (нестрого убывающей) и ограничена сверху (снизу), то является сходящейся. 27. Второй замечательный предел. Число е. где е - число Эйлера. Это число иррациональное и приближенно равно е = 2.718281828.... Логарифмы с основанием е называются натуральными 28. Предел функции в точке (по Коши и по Гейне) и на бесконечности. Односторонние пределы функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Пусть задано некоторое числовое множество и каждому поставлено в соответствие число , тогда говорят, что на множестве задана функция , . Число называется пределом функциив точке , если для такое, что для из того, что следует, что : или при . Число называется пределом функциив точке , если для любой последовательности , которая сходится к , соответствующая последовательность значений функции сходится к . Рассмотрим функцию , заданную на . Число называется пределом функции на бесконечности или при , если для любого существует число такое, что для всех из того, что , выполняется неравенство . Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами. Число называется правым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство .Правый предел обозначается Число называется левым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство . Левый предел обозначается Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при (или в точке ), если Функция , обратная к б.м функции , есть функция бесконечно большая. 29. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функций и их классификация. Непрерывность элементарных функций. Функция называется непрерывной в точке , если: 1. функция определена в точке и ее окрестности; 2. существует конечный предел функции в точке ; 3. это предел равен значению функции в точке , т.е. При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть Теорема1. Все основные элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения. Теорема2. Пусть функции и непрерывны Тогда функции также непрерывны в точке (последняя при условии, что ). Теорема3. Если и функция непрерывна в точке , то , или . Теорема4. Пусть функция непрерывна а функция непрерывна в точке . Тогда сложенная функция непрерывна в точке . Односторонняя непрерывность: Говорят, что функция непрерывна в точке справа (слева), если выполняется предельное соотношение: Если же то или другое из этих соотношений не осуществляется, то функция имеет в точке разрыв, соответственно, справа или слева. Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно: 1. функция определена в точке и ее окрестности; 2. существует конечный предел функции в точке ; 3. это предел равен значению функции в точке , т.е. называется точкой разрыва функции. Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода. Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода. Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва. Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке. 30. Первый замечательный предел. или 31. Три важных предела. 1 или 2 limx→∞(1+ax)bx=eab.limx→∞(1+ax)bx=eab.limx→0ln(1+x)x=1.limx→0ln(1+x)x=1. limx→0ex−1x=1.limx→0ex−1x=1.limx→0ax−1xlna=1,a>0,a≠1.limx→0ax−1xlna=1,a>0,a≠1. limx→0(1+x)a−1ax=1. 32. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Символы «о» и «О». Эквивалентные функции, их применение к вычислению пределов функций. Функция называется бесконечно большойпри ,если для любого числа M>0 существует число = (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство . Записывают . Функция называется бесконечно большойпри ,если для любого числа M>0 найдется такое число N=N (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Всякая бесконечно большая функция в окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности. Функция называется бесконечно малой при ,если : для любого числа >0 найдется число >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство . Теорема: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Теорема: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая. Следствие: так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы вытекает произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Следствие: произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая. Теорема: частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая. Теорема: если функция - бесконечно малая, то обратная ей функция – бесконечно большая и наоборот. «O» большое и «o» малое — математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций. Это не равенство в обычном смысле, а несимметричное отношение Эквивалентные бесконечно малых функций необходимы если нужно находить границы без применения правила Лопиталя
33. Функции, непрерывные на отрезке и их свойства: теоремы Вейерштрасса, теорема Коши о прохождении функции через нуль, теорема Коши о промежуточном значении. Функция называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть и непрерывной слева в точке , то есть . 1. Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. 2. Непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке. 3. Теорема Больцано-Коши. Если функция является непрерывной на отрезке и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть , , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между и . 4. Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка такая, что . 34. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Односторонние производные. Уравнения касательной и нормали к кривой. Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю. Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 197. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |