Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Размерность и базис векторного пространства
Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа , т.е.:
Векторы векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что выполняется тождество:
. (*)
В противном случае, т.е. когда это тождество выполняется только при для всех векторы называются линейно независимыми.
Линейное векторное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n + 1) векторов уже являются линейно зависимыми.
Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного линейного векторного пространства R называется его базисом.
Можно доказать следующее утверждение:
ПРИМЕР: Если в n-мерном векторном пространстве R задан базис , то любой вектор этого пространства может быть представлен в виде разложения по векторам этого базиса: . При этом числа называются координатами вектора относительно этого базиса.
Замечание. Каждый вектор однозначно определяется координатами в некотором базисе. При этом нулевой вектор имеет в этом базисе нулевые координаты, а противоположный данному вектор – противоположные по знаку координаты.
Если имеется система n линейно независимых векторов пространства R и любой вектор этого пространства линейно выражается через векторы этой системы, то пространство R является n-мерным, а указанная система векторов – его базисом.
ПРИМЕР: Даны векторы , где векторы образуют базис линейного трехмерного пространства. Покажите, что данные векторы также являются базисом этого пространства. Данные векторы образуют базис, если они являются линейно независимыми. Поэтому запишем для них тождество (*) сразу в матричном виде:
Этому тождеству соответствует система линейных однородных уравнений вида: Поскольку определитель матрицы этой системы отличен от нуля |А| = 7 ≠ 0, согласно правилу Крамера, система имеет единственное нулевое решение: λ1 = λ2 = λ3 = 0. Это и означает, что заданные векторы – линейно независимы и образуют базис.
Переход к новому базису Пусть в пространстве R имеется два базиса: «старый» и «новый» . Очевидно, что каждый из векторов нового базиса можно представить в виде линейной комбинации векторов старого базиса: (*)
Это же представление можно записать в матричной форме:
Полученная запись означает, что переход от старого базиса к новому задается матрицей перехода А. Эта матрица, как и матрица АТ невырожденная, т.к. в противном случае ее строки (а, следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимы. Найдем зависимость между координатами одного и того же вектора в разных базисах. Пусть некоторый вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т.е. можно записать:
Если теперь подставить в среднюю часть этих равенств выражения для векторов из равенств (*), то после несложных преобразований можно получить: (**)
Систему представлений (**) можно записать и в матричной форме, т.е. в виде: Х = А∙Х*,именно так координаты вектора в старом базисе выражаются через координаты того же вектора в новом базисе. Если решить систему уравнений (**) методом обратной матрицы (это можно сделать, т.к. матрица A невырожденная, и обратная ей матрица существует), то получим: Х* = А-1Х именно таким образом координаты вектора в новом базисе выражаются через координаты того же вектора в старом базисе.
ПРИМЕР:Найдите координаты вектора в новом базисе примера подраздела 3.3. Используя разложения векторов по векторам базиса, приведенные в условии примера подраздела 3.3, можно матрицу перехода от старого базиса к новому записать в виде: . Можно убедиться в том, что определитель этой матрицы |А| = 7 ≠ 0. Поэтому существует обратная ей матрица, которая имеет вид (убедитесь в этом самостоятельно): Для отыскания координат вектора в новом базисе воспользуемся формулой: Х* = А-1Х и найдем: Таким образом разложение вектора по векторам нового базиса можно записать в виде:
Евклидово пространство Выше мы ввели понятие линейного векторного пространства, в котором определены операции сложения векторов и умножения их на число, а также ввели понятия размерности и базиса этого пространства. Теперь дополним это пространство метрикой, т.е. укажем способы измерения длин векторов и углов между ними. Это можно сделать, доопределив в векторном пространстве понятие скалярного произведения векторов, естественно, обобщив его на случай n-мерных векторов.
Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное: Отметим основные свойства скалярного произведения, которые непосредственно вытекают из сформулированного определения.
1. - коммутативное свойство; 2. - дистрибутивное свойство; 3. - свойство справедливое для любого действительного α; 4. , если , и , если .
Определение.Линейное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам, рассматриваемым как аксиомы, называется евклидовым пространством.
Определение. Длинойили нормойвектора в n-мерном евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата, т.е.: Определенная таким образом норма вектора обладает некоторыми свойствами, основное из которых записывается в виде: и носит название неравенства Коши-Буняковского. Очевидно, что косинус угла j между двумя векторами и можно определить равенством, непосредственно вытекающим из неравенства Коши-Буняковского:
, где:
Определение.Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Определение.Векторы n-мерного евклидова пространства Rn образуют ортонормированный базис, если они попарно ортогональны, и норма каждого из них равна единице.
Существует теорема, устанавливающая одно из основных свойств евклидова пространства.
Примером одного из таких ортонормированных базисов является система из n единичных векторов, у которых i-ая компонента равна 1, а все остальные компоненты равны нулю, т.е. базис из векторов: и т.д.
Линейные операторы Если задан закон (правило), по которому каждому вектору пространства Rn ставится в соответствие единственный вектор этого же пространства, то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) и записывают . Оператор называется линейным, если для любых векторов и пространства Rn и любого действительного числа λ выполняются соотношения:
· - свойство аддитивности оператора; · - свойство однородности оператора.
Опираясь на свойства линейности оператора, можно показать, что его воздействие на вектор состоит в том, что матрица-столбец координат этого вектора (в некотором базисе) умножается слева на квадратную матрицу А оператора и в результате получается матрица-столбец координат вектора (в том же базисе), т.е. Y = AX. Другими словами, каждому линейному оператору можно поставить в соответствие единственную квадратную матрицу этого оператора. При переходе к другому базису в пространстве Rn матрица линейного оператора изменится. Можно показать, что матрицы А* и А линейного оператора в новом базисе и в старом базисе , соответственно, связаны соотношением: , где С – матрица перехода от старого базиса к новому (см. подраздел 3.4).
Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора (или линейного преобразования, заданного матрицей А), если существует такое число λ, что справедливо равенство: . При этом число λ называется собственным значением оператора (или матрицы А), соответствующим собственному вектору .
Из приведенного определения следует, что собственный вектор под воздействием линейного оператора переходит в вектор, коллинеарный самому себе, т.е. просто умножается на число – собственное значение, ему соответствующее.
Характеристическим уравнением матрицы А линейного оператора называется уравнение:
где λ – неизвестное собственное значение, Е – единичная матрица.
ПРИМЕР: Для матрицы характеристическое уравнение будет иметь вид:
Таким образом, задача отыскания собственных векторов и собственных значений линейного оператора решается в следующей последовательности. Вначале составляют и решают характеристическое уравнение. Его решениями будут собственные значения, причем их количество не превосходит n. После этого, подставляя последовательно каждое из найденных собственных значений в систему однородных уравнений вида: каждый раз решают ее методом Гаусса и выясняют структуру нетривиальных решений – координат собственного вектора, соответствующего данному собственному значению.
ПРИМЕР: Найдите собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей: Составим характеристическое уравнение для отыскания собственных значений: Решениями этого уравнения будут два собственных значения преобразования А: λ1 = 2 и λ2 = − 1. Приступим к отысканию собственного вектора, соответствующего первому из собственных значений. Для этого запишем систему однородных уравнений: Полученная система фактически представляет собой одно уравнение с двумя неизвестными. Положим и найдем . Таким образом, собственный вектор, соответствующий первому из собственных значений, будет иметь следующие координаты: , где С1 – любое действительное число, отличное от нуля. Для второго собственного значения система однородных уравнений запишется в виде: Т.е. представляет собой одно уравнение с двумя неизвестными. Полагая , найдем , и окончательно запишем: , где С2 – любое действительное число, отличное от нуля.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 341. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |