Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Решение смешанной задачи для уравнения
параболического типа методом сеток Рассмотрим смешанную задачу для однородного уравнения теплопроводности. Задача состоит в отыскании функции u(x,t), удовлетворяющей в области уравнению
(3.1)
начальному условию (3.2)
и граничным условиям первого рода . (3.3)
К задаче (3.1)-(3.3) приводит, в частности, задача о распространении тепла в однородном стержне длины а, на концах которого поддерживается заданный температурный режим. Граничные условия второго и третьего рода в данной лабораторной работе не рассматриваются. Замена переменных приводит уравнение (3.1) к виду
,
поэтому в дальнейшем будем считать . Построим в области D равномерную прямоугольную сетку с шагом h в направлении x и шагом t в направлении t (рис.3.1).
Рис.3.1.
Обозначим узлы сетки через , а приближенные значения функции в этих узлах - . Тогда , , , , , . Аппроксимируем уравнение (3.1) на четырехточечном шаблоне, который изображен на рис.3.1. (такой шаблон не единственный). В результате получаем неявную двухслойную разностную схему
, (3.4)
которая аппроксимирует уравнение (3.1) с погрешностью , причем . Схема (3.4) аппроксимирует уравнение (3.1) только во внутренних узлах сетки, поэтому число уравнений в схеме (3.4) меньше числа неизвестных . Недостающие уравнения получают из граничных условий
. (3.5)
Схема (3.4)-(3.5) –неявная, поэтому значения находят как решение системы линейных уравнений (3.4). Для решения системы (3.4) можно применять любой алгоритм решения систем линейных уравнений, однако система (3.4) обладает трехдиагональной матрицей и рациональнее всего решать ее методом прогонки. Таким образом, решив систему разностных уравнений, найдем значения функции на временном слое , если известно решение на временном слое . Алгоритм численного решения задачи имеет следующий вид: на нулевом временном слое решение известно из начального условия . На каждом следующем слое искомая функция определяется как решение системы (3.4)-(3.5). Применение неявной схемы при вычислениях обеспечивает ее устойчивость при любых значениях параметра l. Преимущества такой схемы особенно ощутимы при сравнении с явной схемой, которая получается при аппроксимации уравнения (3.1) на шаблоне, изображенном на рис.3.2.
Рис.3.2.
Явная схема оказывается устойчивой только при , т.е. при . Это означает, что вычисления по явной схеме придется вести с очень малым шагом по t, что может привести к большим затратам машинного времени. В неявной схеме вычисления на одном шаге требуют больше операций, чем в явной схеме, но зато величину шага t можно выбрать как угодно большой без риска нарушить устойчивость схемы. Все это позволяет значительно уменьшить машинное время, необходимое для решения задачи. Схема (3.4) обладает сходимостью. Это означает, что при , решение разностной задачи (3.4)-(3.5) стремиться к точному решению смешанной задачи (3.1)-(3.3).
Пример 3.1. Найти приближенное решение уравнения , удовлетворяющее условиям и .
Решение Выберем по аргументу х шаг . Шаг по выберем . Записываем в таблицу 3.1 начальные и краевые значения. Учитывая их симметрию, заполняем таблицу только для . Значения функции на первом слое находим, используя значения на начальном слое и краевые условия, по формуле
.
Так, при . Таким образом, получаем
, и т.д.
Записываем полученные значения во вторую строку таблицы 3.1. После этого переходим к вычислению значений на втором слое по формуле . Подобным образом определяем последовательно значения при . В двух последних строках таблицы 3.1 приведены значения точного решения задачи и модуля разности при , что говорит о точности предложенного метода.
Таблица 1.
Пример 3.2. Методом прогонки найти решение уравнения , удовлетворяющее условиям , , .
Решение
Возьмем , и . Найдем значения на слое . Прямой ход. Записываем в строке таблицы 3.2 значения функции , находим по формулам
; , ,
при j = 0 числа .
Запишем по формулам , при и т.д.
Результаты вычислений представлены в таблице 3.2.
Значения откуда .
Таблица 3.2.
Обратный ход. Из краевых условий получаем . Значения вычисляются по формулам
при
……………………………………………………… .
Варианты заданий.
Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности c начальным условием и граничными условиями
Литература
1. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1990. 2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977. 3. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973. 4. Годунов С.К., Рябенький В.С., Разностные схемы. - М.: Наука, 1973. 5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М.: Наука, 1976. 6. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М.: Наука, 1972.
Содержание
1. Введение .............................................................................................. 3 2. Лабораторная работа №1. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток........................................................................ 5 3. Варианты заданий............................................................................. 10 4. Лабораторная работа №2. Решение смешанной задачи для уравне- ния гиперболического типа методом сеток ..................................... 11 5. Варианты заданий ............................................................................ 15 6. Лабораторная работа №3. Решение смешанной задачи для уравне- ния параболического типа методом сеток........................................ 16 7. варианты заданий ............................................................................. 23 Литература........................................................................................ 24
Учебное издание
Лабораторные работы по уравнениям математической физики для студентов строительных специальностей
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 431. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |