Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Рациональные дроби. Случай 3. Если есть комплексные корни.
Задача 35 (Э). Вычислить интеграл . Решение. Запишем разложение на простейшие дроби: . Это равно . Тогда . , итого , , . Тогда . Во втором слагаемом, можно подвести под знак дифференциала: = = . Ответ. . Задача Д-13. Вычислить интеграл с помощью рекуррентной формулы . Решение. Применим формулу, при этом n+1 = 2 (n=2 было бы неправильно, ведь в формуле та степень, которую выражаем, это n+1 а та, через которую, это n). При этом n = 1. a = 1. Формула приобретает такой вид: . Ответ. = . Задача Д-14. Вычислить интеграл . Решение. Применим формулу суммы кубов = . Знаменатель дальше разложить невозможно, ведь во второй скобке отрицательный дискриминант. Теперь извлечём дробь и разложим на простейшие. = . Тогда (приравняли числители этой дроби и той исходной, что была в интеграле). Тогда . Система уравнений: , решая её методом Гаусса, получаем:
на последнем этапе, от 3 строки отняли 2-ю. Получили систему: , здесь , , . Тогда надо рассматривать такую сумму интегралов: = = = = Разбили дробь так, чтобы в одной части подвести под знак дифференциала, а во второй в числителе 1, там можно выделить полный квадрат и свести к арктангенсу. Модуль во втором логарифме не нужен, так как там у выражения отрицательный дискриминант, т.е. нет корней, оно положительно.
= . Ответ. Интегрирование иррациональностей. Задача 36.Вычислить интеграл . Решение. Здесь есть корни порядка 2 и 3. Наименьшее общее кратное, НОК(2,3) = 6. Поэтому замена . При этом, , , , , . Тогда = = = = . Сделаем обратную замену и получим: Ответ. . Задача 37. Вычислить интеграл . Решение. Здесь также корни порядка 2 и 3, НОК(2,3) = 6. Замена . При этом, , , , . = = = = = = . Во втором интеграле надо разложить на простейшие дроби. . , откуда получаем , то есть , . Тогда = = . После обратной замены: Ответ. .
Задача 38. Вычислить интеграл . Решение. Сначала сделаем замену . При этом , значит, . Тогда = . Но внешний корень ещё не устранили, поэтому сделаем 2-ю замену: . Тогда , , , соответственно: = = . После второй замены, уже получили интеграл от степенных функций! = . Сделаем обратную замену: = , и после обратной замены: Ответ. . |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 186. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |