Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Вычисления площадей плоских фигур
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Если при этом f(x) на этом отрезке, то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, выразится с помощью интеграла:
Замечания: 1. Если же на , то – f(х) на этом отрезке. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле
или
Наконец, если линия y=f(x) пересекает ось Ох, то отрезок надо разбить на части, в пределах которых f(x) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул, которая ей соответствует.
2. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y2=f2(x), снизу – графиком функции y1=f1(x), слева и справа прямыми x=a, x=b, вычисляется по формуле:
3. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной справа графиком функции x2=j2(y), слева – графиком функции x1=j1(y), снизу и сверху прямыми y=c, y=d, вычисляется по формуле:
Пример 11. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции y = sinx и осью абсцисс при условии . Решение: Разобьём отрезок на два отрезка: и . На первом из них sinx , на втором sinx . Тогда, используя формулы, находим искомую площадь:
Вычисление объёмов Если тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x) ( ), осью Ох и прямыми x=a, x=b (a<b), то или
Вокруг Оу: Пример 12 Найти объем тела, полученного вращением y=tgx вокруг оси Ox, .
Решение: .
Несобственные интегралы При введении понятия определённого интеграла мы предполагали, что подынтегральная функция является ограниченной, а пределы интегрирования – конечными. Такой интеграл называется собственным (слово «собственный» обычно опускается). Если хотя бы одно из этих двух условий не выполнено, то интеграл называется несобственным. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования Пусть функция f(x) непрерывна при < , т.е. при Тогда по определению полагают Если этот предел существует, то говорят, что интеграл сходится, а если предел не существует, то интеграл называют расходящимся. Геометрически для неотрицательной при функции f(x) несобственный интеграл по аналогии с собственным интегралом представляет собой площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), слева отрезком прямой x=a и снизу осью Ox.
Пример 13 Исследовать на сходимость интегралы: а) т.е. данный несобственный интеграл сходится. б) т.е. данный интеграл расходится. в) Установим, при каких значениях интеграл сходится. Случай был рассмотрен в примере б). Если то . Значит, данный интеграл сходится при >1 и расходится при Аналогично определяются следующие несобственные интегралы
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 223. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |