Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Основные понятия и определения
Пусть Х – некоторое счетное множество точек (х1, х2, …, xn) пространства Rn. Функцией нескольких переменных (n переменных) называется соответствие (закон) f, согласно которому каждой точке множества Х сопоставляется определенное число z. Такое соответствие записывается в виде z = f (x1, x2, …, xn). При этом множество Х называется областью определения функции f.
Для наглядности и простоты изложения в рамках этой темы мы ограничимся рассмотрением функций двух переменных (n = 2), хотя все основные понятия достаточно легко обобщаются на случай любого конечного числа переменных.
Функцию двух переменных z = f (x, y) можно изобразить графически, вычисляя для каждой точки (x, y) области ее определения Х значение функции z. В этом случае мы получим некоторую совокупность точек трехмерного пространства (x, y, z), которая и будет являться графиком функции. В самом общем случае график функции двух переменных представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Например, на рис. 19 приведен график функции двух переменных z = x2 + y2.
Рис. 19.
ПРИМЕРЫ: 1. Многомерная функция полезности z = f (x1, x2, …, xn) есть числовая оценка определенным индивидом полезности набора приобретенных им n товаров. 2. Производственная функция Кобба-Дугласа: , где А, α и β – неотрицательные константы, х1 – объем производственных фондов, х2 – объем трудовых ресурсов, z – объем выпуска продукции.
График функции двух переменных представляет собой значительно более сложный объект, чем график функции одной переменной. Чаще всего, графическое представление на плоскости достаточно сложной поверхности – графика функции встречает серьезные трудности, а самое главное, не обладает достаточной информативностью. Поэтому для изучения свойств функций двух переменных вместо графика используют так называемые линии уровня. Линией уровня функции двух переменных z = f (x, y) называется множество точек плоскости Oxy таких, что во всех этих точках значение функции равно постоянной величине С, Число С в этом случае называется уровнем. Фактически линии уровня представляют собой «срезы» (сечения) поверхности графика функции плоскостями с уравнениями f (x, y) = C, параллельными плоскости Oxy. Для примера на рис. 20 приведены линии уровня для некоторой функции двух переменных.
Рис. 20.
Предел и непрерывность Для дальнейшего нам понадобится понятие δ – окрестности точки на плоскости Oxy. Для любого числа δ > 0 δ – окрестностью точки (x0, y0) называется множество всех точек плоскости (x, y), для которых выполняются неравенства и . Число А называется пределом функции z = f (x, y) при x→x0 и y→y0 (или в точке M0(x0, y0)), если для любого числа ε > 0 найдется число δ > 0 такое, что для всех точек M(x, y), лежащих в δ – окрестности точки М0, выполняется неравенство . Обозначается этот предел: . Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке (x0, y0), если предел функции в этой точке равен значению функции в этой же точке, т.е.: ПРИМЕР: Линейная функция является непрерывной в любой точке (x0, y0).
Частные производные и дифференцируемость Функции двух переменных Пусть z = f (x, y) – функция двух переменных. Если зафиксировать один из аргументов этой функции, например, положить y = y0, то получим функцию одной переменной z = f (x, y0). Частной производной функции z = f (x, y) в точке (x0, y0) по переменой х называется обыкновенная производная функции z = f (x, y0), вычисленная в точке х0. Такая частная производная обозначается: Совершенно аналогично определяется частная производная по y:
ПРИМЕР: Для функции можно записать:
Полным приращением функции z = f (x, y) в точке (x0, y0) называется величина:
Функция z = f (x, y) называется дифференцируемой в точке (x0, y0), если ее полное приращение в некоторой окрестности этой точки может быть представлено в виде:
, где для функций α1 и α2 выполняются соотношения:
и .
Дифференциалом функции z = f (x, y) называется выражение:
Очевидно, что, как и в случае функции одной переменной, дифференциал функции двух переменных будет приближенно равен полному приращению функции.
|
|||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 269. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |