Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Тема 3. Линейные функционалы и операторы
Глава 1. Линейные функционалы. § 1. Непрерывные линейные функционалы. 1.1. Определение линейного функционала. Def Пусть - линейное нормированное пространство. Числовую функцию , определенную на называют функционалом . Def Функционал называется линейным, если обладает свойствами: 1) аддитивности: . 2) Однородности: .
1.2. Примеры линейных функционалов № 1. Пусть есть -мерное пространство с элементами и - произвольный набор из фиксированных чисел. Тогда - линейный функционал в . № 2 В № 3. В более общий случай , где некоторая фиксированная непрерывная функция на . Линейность следует из основных свойств операции интегрирования. № 4. В рассмотрим другой функционал , т.е. фиксируем точку и для каждой функции функционал равен значению этой функции в данной точке. Этот функционал обычно записывают через -функцию Дирака , где всюду, кроме , и интеграл от которой равен 1. № 5. Пусть - фиксированное число: Для каждого положим .
1.3. Определение непрерывного функционала. Def В нормированном пространстве функционал называется непрерывным, если из условия следует Def Функционал называется непрерывным на , если и такая окрестность , что при . Если - конечномерное линейное нормированное пространство, то всякий линейный функционал на автоматически непрерывен. В общем случае из линейности функционала его непрерывность не вытекает.
§ 2 Связь между непрерывностью и ограниченностью. Лемма. Если линейный функционал непрерывен в одной точке, то он непрерывен всюду на . Таки образом, проверять непрерывность линейного функционала достаточно в одной точке, например в 0. Нет определения ограниченного функционала
Теорема 1. Для того, чтобы линейный функционал был непрерывен на , необходимо и достаточно, чтобы такая окрестность нуля в , на которой функционал ограничен. Теорема 2. Линейный функционал непрерывен тогда и только тогда когда он ограничен.
§ 3. Норма функционала. 3.1. Определение нормы Def Нормой линейного непрерывного функционала называется число , Равносильные определения . Из последнего определения следует очевидное свойство .
3.2. Примеры вычисления нормы. Вычислим нормы функционалов из п.1.2. № 1. . , где . (План 1) оцениваем , пытаясь выделить 2) делим на , получаем оценку для 3) подбираем элемент , на котором это значение достигается) , т.е. , т.е. . №2 в . . Т.е. причем при достигается равенство . № 3 . Наш оператор линеен, непрерывен ограничен . Если знакопостоянна на , то равенство достигается при . Если знакопеременна, то равенство достигается при . Но эта функция не принадлежит . Поэтому надо построить последовательность непрерывных функций .
§ 4 Продолжение линейного функционала. 4.1. Продолжение по непрерывности. Если в линейном пространстве задан функционал, определенный не на всем пространстве, а лишь на некотором подмножестве , то естественно возникает вопрос о его продолжении на все пространство с сохранением определенных свойств. Т.е. требуется построить новый функционал, определенный уже на всем пространстве, обладающий определенными свойствами и совпадающий на с ранее заданным. Данный вопрос решается легко, если всюду плотно в .тогда продолжение функционала строится по непрерывности, т.е. , . Положим . Заметим, что данное продолжение, является продолжением с сохранением нормы.
4.2. Продолжение функционала, заданного на подпространстве. Теорема Хана-Банаха. Более сложный случай возникает, если функционал задан на подмножестве , не являющимся всюду плотным в . Теорема Хана-Банаха. Пусть - линейное нормированное пространство, - его подпространство. Тогда для любого непрерывного функционала , заданного на , существует такой функционал , заданный на всем , что 1) , если 2) .
4.3. Следствие из теоремы Хана-Банаха. Следствие 1. , , . Следствие 1 утверждает существование в любом линейном нормированном пространстве линейного непрерывного функционала, не равного тождественно нулю.. Следствие 3. Пусть - фиксированный элемент из . Если , то . Следствие 4. (Об отделимости элемента и подпространства) Пусть - подпространство . и . Тогда линейный функционал , определенный всюду на и такой, что 1) 2) 3) . Следствие 5 (Критерий замкнутости системы). Для того чтобы система элементов была замкнутой необходимо и достаточно, чтобы из того, что функционал обращается в нуль на всех элементах следовало, что .
§ 5. Сопряженное пространство. Пусть - множество всех линейных непрерывных функционалов, определенных на . Введем в операции сложения и умножения на число ; . Примем за норму элемента норму соответствующего функционала. Поскольку она также удовлетворяет всем аксиомам нормированного пространства, то - линейное нормированное пространство. Оно называется сопряженным пространством к . Т.к. линейное нормированное пространство, то можно говорить о пространстве , непрерывных линейных функционалов на , т.е. о втором сопряженном пространстве к . Def Те пространства для которых называются рефлексивными. В этом случае и ( ) Вложение желательно определять равенством .
§ 6. Сильная и слабая сходимости. 6.1. Сильная сходимость Def Последовательность функционалов сходится к элементу , сильно, если при . Теорема. Сопряженное пространство полно (в сильной топологии) внезависимости от того, полно само или нет.
6.2. Теорема Банаха-Штейнгауза (Критерий слабой сходимости) Теорема. Если последовательность линейных функционалов, ограничена в каждой точке , то последовательность норм этих функционалов, также ограничена.
6.3. Слабая сходимость. Def Последовательность называется слабо сходящейся к элементу , если для каждого фиксированного . Теорема 1 (Критерий слабой сходимости для функционалов) Для того, чтобы последовательность линейных функционалов слабо сходилась к линейному функционалу , необходимо и достаточно, чтобы: 1о. Последовательность была ограничена 2о. для любого из некоторого множества , линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в (т.е. на базисе.) Заметим, что из теоремы Банаха-Штейнгауза следует важный результат. Теорема 2. Пространство полно в слабой топологии, если само - полно.
6.4. Связь между сильной и слабой сходимостью. Из сильной сходимости последовательности функционалов следует ее слабая сходимость
Из слабой сходимости последовательности функционалов следует сильная только в случае конечномерных пространств. В общем случае это неверно.
§ 7. Общий вид линейных функционалов. 7.1. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса. Теорема Рисса. Всякий линейный непрерывный функционал в гильбертовом пространстве имеет вид , где - некоторый элемент из , однозначно определяемый функционалом . При этом . Теорема Рисса означает, что сопряженное пространство изоморфно самому (т.е. можно установить взаимнооднозначное соответствие). 7.2. Общий вид линейного функционала в и ( ). № 1 , изоморфно , где или . № 2. , изоморфно пространству всех ограниченных последовательностей с нормой , где . № 3 - пространство стремящихся к нулю последовательностей с нормой изоморфно пространству , № 4 , изоморфно , где . № 5. изоморфно пространству - ограниченных на функций, т. е. Функций, существенные максимумы которых конечны (почти всюду огранич. функций) ; где - почти всюду на ограниченная функция и . Заметим, что при и т.е. и - самосопряженные пространства, т.е. гильбертовы.
7.3. Общий вид линейного функционала в Теорема (Ф.Рисса) всякий линейный непрерывный функционал в пространстве представим в виде интеграла Стилтьеса , где - некоторая функция ограниченной вариации на . При этом . Эта теорема устанавливает изоморфизм и - пространства функций с ограниченным изменением.
Глава II. Линейные операторы. § 1. Непрерывные линейные операторы 1.1. Определение линейного оператора. Def оператор , определенный на пространстве и принимающий значения в пространстве , называется линейным, если этот оператор 1) аддитивен, т.е. . 2) Однороден, т.е. , . В дальнейшем будем писать также
1.2. Определение непрерывного оператора Def Оператор называется непрерывным в точке , если при (здесь ) или, что равносильно: если . Def Если оператор непрерывен в каждой точке , то говорят, что непрерывен на . Теорема. Если линейный оператор , действующий из банахова пространства непрерывен в какой-либо одной точке банахова пространства , то он равномерно непрерывен на всем .
1.3. Примеры линейных операторов № 1. Пусть , где - линейное нормированное пространство. Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя, называется единичным оператором. № 2. Пусть , где непрерывная фиксированная функция, такой оператор называется оператором умножения на функцию , линейность оператора очевидна. № 3. Пусть - оператор дифференцирования , где -пространство непрерывно дифференцируемых функций на с нормой . № 4. Общий вид линейного оператора, переводящего конечномерное пространство в конечномерное. Пусть , тогда , такой что . Ясно, что оператор определяется матрицей коэффициентов
§ 2. Связь между непрерывностью и ограниченностью Def Оператор называется ограниченным, если такая постоянная , что . Теорема. Для того чтобы линейный оператор был непрерывен чтобы он был ограничен.
§ 3. Норма оператора. 3.1. Определение нормы оператора. Def Пусть - линейный ограниченный оператор. Наименьшая из постоянных , удовлетворяющих условию при всех называется нормой оператора и обозначается . Равносильные определения .
3.2. Примеры вычисления нормы Вычислим нормы операторов из п. 1.3. №1. . №2. . Так как , то Равенство достигается при . №3 . Единица не достигается, но , т.к. к ней можно сколь угодно приблизиться, например, на последовательности , , поэтому .
§ 4. Продолжение линейного оператора В отличие от линейного функционала, линейный оператор может продолжаться только по непрерывности, т.е. теорем Хана-Банаха места не имеет. Если линейный ограниченный оператор задан на - плотном множестве линейного нормированного пространства и если - банахово пространство, то данный оператор можно продолжить по непрерывности на все пространство с сохранением нормы. Данное продолжение единственно.
§ 5. Пространство линейных ограниченных операторов. 5.1. Полнота пространства операторов. Пусть и - линейные нормированные пространства. Обозначим символом совокупность всех линейных непрерывных операторов, действующих из в . Действуя по аналогии с функционалами, введем в структуру линейного пространства следующим образом: , . Каждому элементу этой совокупности поставим в соответствие норму этого элемента . Теорема. Множество с заданной нормой и операциями сложения и умножения на число является линейным нормированным пространством. Если же - банахово пространство, то и - банахово.
5.2. Сходимость последовательности операторов. Def Последовательность назовем сходящейся по норме к оператору , если . Def Сходимость по норме называют также равномерной сходимостью. Если - функционал – то это сильная сходимость. Def Последовательность назовем сильно сходящейся к , если . Def Последовательность называют слабо сходящейся к оператору и обозначают , если . Заметим, что сходимости связаны следующими соотношениями . В обратную сторону неверно. Теорема 1. Пространство полно относительно поточечной сходимости, если , - банахово (полное) пространство. Основную роль в доказательстве этого факта играет Теорема 2 (Банаха-Штейнгауза; принцип равномерной ограниченности). Пусть , - банаховы пространства. Если последовательность ограничена в каждой точке , то последовательность норм ограничена.
5.3. Функции операторов Вначале введем произведение операторов Если , , то . Тогда - линейный ограниченный оператор из . В случае, если , то здесь можно определить операторы и и . Учтем, что операция умножения свойством коммутативности не обладает, т.е. . Теперь в можно ввести любую степень оператора , , . Тогда, чтобы определить функции операторов воспользуемся стандартными разложениями , , , … (Ряды сходятся, так как сходятся ряды из норм, а пространство полное, т.е. предел есть).
§ 6. Обратный оператор. 6.1. Понятие обратного оператора. Решение систем линейных алгебраических уравнений, линейных интегральных уравнений, а также некоторых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными сводится к вопросу о существовании и единственности решения линейных операторных уравнений вида . Пусть задан линейный оператор , причем, его область определения , а область значений . Обратное отображение, обозначаемое , называется обратным оператором. Предположим, что оператор отображает на взаимно однозначно. В этом случае существует обратный оператор отображающий взаимно однозначно на . В этом случае оператор также является линейным оператором. Def Множество тех , для которых , называется ядром линейного оператора и обозначается . Теорема. Линейный оператор переводит в взаимно однозначно когда .
6.2. Односторонние обратные операторы Def Линейный оператор имеет левый обратный, если такой, что . В этом случае решение единственно однако вопрос о существовании решения остается открытым. Def Линейный оператор имеет правый обратный, если такой, что , . Def Если линейный оператор имеет правый и левый обратный, то они равны, т.е. оператор имеет единственный обратный оператор .
6.3. Теорема 1. Линейный оператор непрерывно обратим (т.е. линеен, непрерывен, а значит и ограничен) тогда и только тогда, когда областью значений оператора будет все , и такая, что Теорема 2. Пусть - банахово пространство, если оператор , такой, что , то оператор непрерывно обратим, справедливо равенство , где ряд сходится равномерно, и справедлива оценка . Теорема 3. Множество обратимых операторов открыто.
6.4. Теорема Банаха об обратном операторе. Теорема. Если - линейный оператор, отображающий взаимно однозначно банахово пространство на банахово пространство , то обратный оператор ограничен. Следствие 1. (Теорема об открытом отображении) Линейное непрерывное отображение банахова пространства на все банахово пространство открыто. Следствие 2. (Лемма о тройке). Пусть - банаховы пространства и и - непрерывные линейные операторы из в и из в , соответственно, причем отображает на все (т.е. ). Если при этом , то такой непрерывный линейный оператор , отображающий в , что .
§ 7. Сопряженный оператор. 7.1. Определение сопряженного оператора. Рассмотрим непрерывный линейный оператор , отображающий линейное нормированное пространство в такое же пространство . Пусть - линейный функционал, определенный на , т.е. . Обозначив через получим или . Def Это соотношение и примем за определение сопряженного оператора.
7.2. Свойства сопряженного оператора. 1. Оператор линеен 2. 3. 4. 5. 6. .
7.3. Унитарный оператор. Def Пусть - комплексное гильбертово пространство. Оператор отображает на все взаимно однозначно. Оператор называется унитарным, если выполняется равенство (т.е. унитарный оператор сохраняет скалярное произведение). Свойства унитарного оператора 1о. Унитарный оператор линеен и ограничен. 2о. Унитарный оператор имеет обратный, который также унитарен. 3о. Произведение двух унитарных операторов есть унитарный оператор. 4о. Оператор является унитарным тогда и только тогда, когда [это следует из ]. 5о. Унитарный оператор отображает с сохранением нормы, т.е. . [это следует из определения, т.к. ]. Точка называется регулярной, если 1) 2) Тогда из теоремы об обратном операторе существует обратный оператор называемый резольвентой.
7.4. Понятие сопряженного оператора. пусть - гильбертово пространство. Оператор, называется самосопряженным, если . т.е. выполняется равенство . Множество всех сопряженных операторов из обозначается . Теорема 1. Если , , то Теорема 2. Пусть , . Теорема 3. Если , то .
§ 8. Спектр оператора. Резольвента. 8.1. Конечномерный случай. Пусть - линейный оператор в - мерном пространстве . Число называется собственным значением оператора , если уравнение имеет ненулевые решения . Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора , а все остальные значения - регулярными. Иначе говоря, - есть регулярная точка, если оператор обратим. При этом определен на всем и, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности: 1) Уравнение имеет ненулевое решение, т.е. есть собственное значение оператора , оператор при этом не существует. 2) существует ограниченный оператор , определенный на всем пространстве, т.е. регулярная точка.
8.2. Резольвентное множество Определение Комплексное число (точка комплексной плоскости) называется регулярной точкой оператора , если оператор имеет обратный оператор , являющийся линейным непрерывным оператором, заданным на . Совокупность всех регулярных точек оператора называется резольвентным множеством оператора и обозначается . Если , то оператор из называется резольвентой оператора . |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 273. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |