Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
ГЛАВА IV. БЕСКОНЕЧНЫЕ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ДЕКАРТОВЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
В этой главе, как и в предыдущих, мы берем за основу систему аксиом ∑º, причем теоремы не помеченные знаком º, не зависят от аксиом выбора. Цель настоящей главы – обобщить операции сложения, умножения и декартова умножения на произведение семейства множеств.
Бесконечные суммы и произведения.
Пусть - функция, значениями которой являются подмножества некоторого фиксированного множества , а область её определения – непустое множество . ( ) Тогда . Вместо мы будем писать . Пусть - множество значений функций , т.е. семейство множеств , когда пробегает все . Сумма множеств будет обозначать , а произведение - , т.е. , Очевидно, что , (1) Если состоит только из одного элемента , то . Если же состоит из 2х элементов и , то , . Таким образом, рассматриваемые здесь понятия обобщают понятия суммы и произведения множеств на случай произвольного семейства слагаемых. Из (1) вытекают равенства: (2) Справедливые для каждой высказывательной функции 2х переменных (с ограниченной областью определения). В самом деле, полагая , получаем , поэтому: 2-е равенство в (2) доказывается аналогично. Используя (1) и формулы, характеризующие кванторы, §1 гл.II, получаем следующие законы для обобщённых операций: (3) (4) (5) (6) (7) (8) , (9) (10) , (11) , (12) . (13)
Все эти законы непосредственно следуют из соответствующих законов §1, гл. II. Докажем, например, закон де Моргана (8): Для доказательства использованы следующие формулы: (2) §2, гл. I: , . (5) §1, гл. II: Диаграмма, приведенная в гл.II, §1, позволяет получить дополнительные законы для бесконечных операций. Для этого достаточно знак импликации заменить знаком включения , а функцию заменить функцией 2-х переменных , значениями которой являются множества. В частности, получаем следующую важную формулу: (14) Вообще говоря, знак включения здесь нельзя заменить обратным (см. (18) гл.II, §1). Теорема 1. Сумма - единственное множество , удовлетворяющее условиям (15) (16) Произведение - единственное множество , удовлетворяющее условиям (15') (16') Другими словами, сумма является наименьшим множеством, содержащим все множества , а произведение - является наибольшим множеством, содержащимся в каждом из множеств . Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (3) и (13) следует, что сумма удовлетворяет условиям (15) и (16). Если какое-то множество удовлетворяет этим условиям, то из (15) и (13) непосредственно следует, что . Подставляя в (16) и используя (3), получаем, что . Но т.к. по условию теоремы должно быть единственным, то . Доказательство для произведения аналогично. Теорема 2 (Обобщённые законы ассоциативности). Если , где - функция с областью определения , значениями которой являются множества (т.е. ), то , (17) (18) Д о к а з а т е л ь с т в о. Полагая и , представим (17) в виде: (19) Имеем для каждого и, в частности, для каждого , откуда по теореме 1 . Обратно, пусть для производного . Для каждого существует такое , что , откуда и, значит, . Т.к. это верно для любого , то . Применяя теорему 1 получаем (19). Равенство (18) доказывается аналогично. Теорема 3 (обобщенные законы коммутативности). Если - перестановка множества , то (17') (18')
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем (17'). Пусть . Если , то . А т.к. для . Обратно, если - такое множество, что для всех , то , поскольку . Отсюда , а это и значит, что - наименьшее множество, содержащее все множества , т.е. . Равенство (18') доказывается аналогично. |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 209. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |