Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Укажем еще одно важное правило для задания числовых множеств: Конечные числовые множества изображаются на числовой прямой отдельными точками.
В математике иногда приходится рассматривать множества, содержащие только один элемент, и даже множества, не имеющие ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым. Его обозначают знаком ∅. Например, дано множество A={x|x∈N∧-2<x<0}. Это множество задано своим характеристическим свойством, но оно является пустым, так как в нем нет ни одного элемента, удовлетворяющее данному свойству [3]. Или, например, пусть множество В – это множество всех прямоугольников с неравными диагоналями. То, что свойство «быть прямоугольником с неравными диагоналями» задает пустое множество, составляет утверждение геометрической теоремы: «Во всяком прямоугольнике диагонали равны». Стоит отметить, когда речь идет о двух и более множествах, то между ними могут быть какие-либо отношения или нет. Если множества находятся в каких-либо отношениях, то речь идет или об отношении равенства или отношении включении. Множество А включается во множество В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В. Обозначается данное отношение так: A⊂B. Или, по-другому говорят, что множество А является подмножеством множества В. Множества А и В называются равными, тогда и только тогда, когда каждый элемент множества А принадлежит множеству В и вместе с этим каждый элемент множества В принадлежит множеству А. Обозначается данное отношение так: А=В Например: 1) A={a,b,c,d} и B={b,d}, эти множества находятся в отношении включения B⊂A, т.к. каждый элемент множества В принадлежит множеству А. 2) M={x|x∈R∧x<6}=(-∞;6) и K{x|x∈R∧x≤8}=(-∞;8], эти множества находятся в отношении включения M⊂K, т.к. каждый элемент множества M принадлежит множеству K (Рис. 4)
Рисунок 4 – Числовой промежуток
3) A={x|x∈N∧x:2}={2,4,6,8,10,...} и B={x|x∈N∧x:3}={3,6,9,12,...}, эти два множества не находятся ни в каких отношениях A⊄B, так как во множестве А есть элемент 2, не принадлежащий множеству В и B⊄A, т.к. во множестве В есть элемент 3, не принадлежащий множеству А. Следовательно, данные множества не находятся ни в каких отношениях. III. Операции и свойства операций над множествами
Опр.1.Пересечением множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и А и В одновременно. A∩B={x|x∈A∧x∈B} Опр.2. Объединением множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В (т.е. хотя бы одному из этих множеств). A∪B={x|x∈A∨x∈B} Опр.3. Разностью множеств А и В называется операция, результатом которой является множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В одновременно. А\ В ={x∈A∧x∉B} Опр.4. Дополнением множества А до универсального множества называется множество, каждый элемент которого принадлежит универсальному и не принадлежит А. Выражения с множествами Из множеств, знаков операций над ними и, может быть, скобок можно составлять выражения. Например, А∩В\С. Необходимо знать порядок выполнения операций в таких выражениях и уметь их читать. Порядок выполнения операций · если нет скобок, то в первую очередь выполняется дополнение до универсального множества простого множества, затем пересечение и объединение (они равноправны между собой), в последнюю очередь - разность; · если в выражении есть скобки, то сначала выполняют операции в скобках по порядку, приведенному в пункте 1), а затем все операции за скобками. Например, а) А∩В\С; б) А∩(В\С); в) А∩(В\С)' . Чтение выражения начинается с результата последней операции. Например, выражение а) читается так: разность двух множеств, первое из которых пересечение множеств А и В, а второе - множество С. Круги Эйлера Операции над множествами и отношения между ними можно изобразить с помощью кругов Эйлера. Это специальные чертежи, на которых обычные множества изображаются кругами, универсальное множество - прямоугольником
Задача. Изобразить с помощью кругов Эйлера множество (А∪В)'∩С.
Решение. Расставим порядок выполнения операций в данном выражении: (А∪В)'∩С. Заштрихуем результаты операций согласно порядку их выполнения
Свойства операции над множествами (рис.5) Свойства I - 8 и 10 - 80 связаны между собой гак называемым принципом двойственности: если в любом из двух столбиков свойств поменять знаки ∩→∪, ∪→∩, ∅→U, U→∅, то получится другой столбик свойств. IV. Разбиение множества на классы Считают, что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы, если выполнены следующие условия: 1) пересечение любых двух подмножеств пусто; |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 290. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |