Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Раздел 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Случайные события и их вероятности. Математическая статистика. Применение комбинаторики к подсчету вероятности. Пример 1: В партии из N деталей имеется n бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных k деталей окажется s бракованных? Решение. Количество всех элементарных исходов равно . Для подсчета числа благоприятных случаев рассуждаем так: из n бракованных можно выбрать s деталей способами, а из N – nнебракованных можно выбрать k – s небракованных деталей способами; по правилу произведения число благоприятных случаев равно . Искомая вероятность равна:
p = (1)
Замечание: Всякое k-членное подмножество n-членного множества называется сочетанием из n элементов по k. Число различных сочетаний из n элементов по k обозначается . Справедлива формула = , (2) n! =1 2 3 4 … n
Пример 2: В партии из 12 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наугад деталей 4 стандартных. Решение. Искомую вероятность найдем по формуле (1) для случая N =12, n =7, k = 6, s = 4. p = = = = . Пример 3: Имеется набор разноцветных шариков, среди которых 5 синих, 3 красных и 2 зеленых. Наугад извлекают 4 шарика. Найти вероятность того, что среди извлеченных шариков 2 синих, 1 красный и 1 зеленый. Решение Для определения вероятности случайного события будем использовать классическую формулу , в которой n – число всех возможных исходов, m- число исходов, благоприятных появлению события. В задаче значения этих величин следует находить при помощи сочетаний. Пример 4: Из карточек разрезной азбуки составлено слово «панорама». Карточки перемешали и наудачу по одной извлекают 5 карточек, выкладывая их в порядке извлечения. Найти вероятность того, что окажется составленным слово «роман».
Решение В этой задаче можно воспользоваться произведением зависимых случайных событий А – получение слова «роман»; В1 – извлечение первой карточки с буквой «р»; В2 – извлечение второй карточки с буквой «о»; и т.д. Тогда А=В1 . В2 . В3 . В4 . В5 Р(А)=Р(В1) . Р(В2) . Р(В3) . Р(В4) . Р(В5)=
Пример 5: В трех ящиках имеется по 6 одинаковых изделий, среди которых соответственно 2, 1, 3 бракованных. Наугад из каждого ящика извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что среди них окажутся два качественных и одно бракованное изделия. Решение Для решения задачи рассмотрим события: А – извлечение двух качественных и одного бракованного изделий, В1 – извлечение качественного изделия из первого ящика; В2 – извлечение качественного изделия из второго ящика; В3– извлечение качественного изделия из третьего ящика; извлечение бракованного изделия для каждого ящика является событиями Составим событие А и вычислим его вероятность
Пример 6: Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, составить функцию распределения, начертить многоугольник распределения и график функции распределения. Имеется заданный ряд распределения дискретной случайной величины
Для вычисления математического ожидания воспользуемся формулой Получим M(X)=(-1).0,5+2.0,3+6.0,2=1,3 Для вычисления дисперсии воспользуемся двумя соотношениями, одно из которых соответствует определению дисперсии, другое – ее свойству. В примере получим: D(X)=(-1-1,3)2 . 0,5+(2-1,3)2 . 0,3+(6-1,3)2 . 0,2=7,21 M(X2)=(-1)2 . 0,5+22 . 0,3+62 . 0,2=8,9 D(X)= 8,9 – 1,32 =7,21 (значения должны совпадать) Для построения многоугольника распределения нужно на координатной плоскости построить точки (xi ;pi) и последовательно их соединить отрезками. Для построения функции распределения воспользуемся схемой:
В примере получим Используя значения заданного примера получим графики:
ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Задание №1.
Задание №2.
Задание №3.
Задание № 4.
Задание № 5.
Задание № 6.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основные источники: 1. Математика: учебник. А.А. Дадаян. – М. : ФОРУМ, 2008 2. «Общий курс высш. математики» под ред. Ермакова Е.И. М., ИНФРА-М,2004 3. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений; С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина; - М.: Издательский центр «Академия», 2010 4. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов; – М. - ФОРУМ, 2008 5. Дискретная математика – учебное пособие. Макоха А.Н., Сахнюк П.А., Червяков Н.И.: учеб. Пособие – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005 6. Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011.-256 с. 7. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие.- 2-е изд., перераб. и доп.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990-576 с. 8. Пехлецкиий И.Д. Математика: учебник.- М., 2003.
Дополнительные источники: 1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович. -11-е изд.,стер. –М.: Мнемозина, 2010.-399 с. 2. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений ( базовый уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича.-10-е изд., стер.-М.: Мнемозина,2009.-239 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ № 1
ПРИЛОЖЕНИЕ № 2 ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
ПРИЛОЖЕНИЕ № 3 ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ (НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 325. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |