Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Декартово произведение множеств, его свойства. Понятие кортежа. Примеры заданий из начального курса математики, связанных с образованием декартова произведения множеств.
Декартово произведение множеств. В начальных классах ученики решают задачу: используя цифры 1,2,3 образовать всевозможные двузначные числа. Путем перебора дети получают Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования. Например, из цифр 1, 2 образованы числа 12 и 21. Рассмотрим следующий пример. Известно, что А В= {(2;3),(2;5), (2;6), (3;3), (3;5), (3;6)}.Установим, из каких элементов состоят множества А и В. Так как первая компонента пары декартового произведения принадлежит множеству А, вторая множеству В, то данные множества имеют следующий вид А={2,3}, В={3,5,6}. Количество пар в декартовом произведении А В будет равно произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В: n(A B)=n(A) n(B). В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из трех, четырех и тд. элементов. Такие упорядоченные наборы называют кортежами.Так, набор (1,5,6) есть кортеж длины 3, т.к в нем три элемента. Используя понятие кортежа, можно определить понятие декартового произведения n множеств. Декартовым произведением множеств А1, А2….Аn называют множество кортежей длины n, образованных так, что первая компонента принадлежит множеству А1, вторая А2, n-ая множеству А: А1 А2 …. Аn. Пусть даны множества А1 ={2,3} ; А2={3,4,5}; А3={7,8}. Декартово произведение А1 А2 А3 ={(2,3,7), (2,3,8), (2,4,7), (2,4,8),(2,5,7),(2,5,8),(3,3,7),(3,4,7),(3,3,8),(3,4,8),(3,5,7),(3,5,8)} Примеры из начального курса математики. Для изображения декартового произведения нечисловых множеств используется таблица. Например: «Фабрика верхнего трикотажа изготавливает мужские пуловеры, женские костюмы, кофты, платья следующих расцветок: бордовая, синяя, голубая,зеленая, коричневая, серая. Составьте таблицу, иллюстрирующую каких цветов могут быть данные изделия».
Особенности математический понятий. Объем и содержание понятий. Отношение между понятиями. Остенсивные и контекстуальные определения понятий, их отличие от определений через род и видовое отличие.
Термин понятие соединяет в себе целый класс объектов или отношений произвольной природы, обладающий определенным характеристическим свойством или целым набором таких свойств. Например понятие четырехугольник обозначает класс всевозможных многоугольников, обладающих свойствами: иметь четыре стороны; иметь четыре вершины; иметь; иметь четыре угла. Понятия условимся обозначать строчными буквами латинского алфавита: a b c Понятия, изучаемые в начальном курсе математики, представляют в виде четырех групп: Понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, меньше и др. Выражение, равенство, уравнение Геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник Понятия, связанные с величинами и их измерениями. Особенности математических понятий: 1)математические объекты, о которых необходимо составить понятия, в реальности не существуют, а существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык 2)в математике рассматриваются не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых ( например, понятие переменной является абстракцией конкретных переменных величин, т.е. абстракцией от абстракции). Объем и содержание понятия. Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла и др. Различают свойства существенные и несущественные. Существенное свойство- свойство, без которого объект не может существовать. Несущественное свойство- свойство, отсутствие которого не влияет на существование объекта. Совокупность всех существенных свойств объекта называют содержанием понятия. Когда говорят о математическом объекте, имеют в виду всю совокупность объектов, обозначаемых одним термином. Совокупность всех объектов, обозначенное одним термином, составляет объем понятия. Например, содержание понятия «квадрат»- это совокупность всех существенных свойств, которыми обладают квадраты, а в объем этого понятия входят квадраты различных размеров. Итак, любое понятие характеризуется: -термином( название) -объемом( совокупность всех объектов, называемых этим термином) -содержанием( совокупность всех существенных свойств объектов, входящих в объем понятия). Между объектом понятия и его содержанием существует связь: чем «больше» объем понятия, тем « меньше» его содержание, и наоборот. Объем понятия « треугольник» « больше», чем объем понятия « прямоугольный треугольник», так как все объекты второго понятия являются и объектами первого понятия. Содержание понятия «треугольник» « меньше», чем содержание понятия «прямоугольный треугольник», так как прямоугольный треугольник обладает всеми свойствами любого треугольника и еще другими свойствами, присущими только ему. Отношения между понятиями. Определив объем понятия, можно рассмотреть, какие отношения могут существовать между различными их типами. Отношение эквивалентности существует тогда и только тогда, когда объемы сравниваемых понятий полностью совпадают. Это означает, что отличительные и существенные признаки, присущие сравниваемым понятиям, принадлежат всем элементам множеств, составляющих их объемы. Так, понятия эквивалентности характеризует отношение между классами равносторонних и равноугольных треугольников, равноугольных ромбов и квадратов, понятий, все они принадлежат к одному классу элементов, т.е. имеют тот же самый объем. Обратите внимание на то, что все перечисленные понятия оказываются эквивалентными только по объему, содержание же их различию. Так, признаки « иметь равные стороны» или « обладать равными углами» отличаются друг от друга по смыслу. Отношение перекрещивания (частичного совпадения) объемов понятий существует тогда и только тогда, когда часть объема одного понятия входит в объем другого, и в свою очередь часть объема второго понятия входит в объем первого. Таковы отношения между объемами понятий «студенты» и «спортсмены», «студенты» и «филателисты», ибо ясно, что не все студенты являются спортсменами или филателистами. Обычно для наглядного изображения отношений между объемами понятий употребляются диаграммы Эйлера, в которых объем понятий представляются кругом. Поскольку у эквивалентных понятий объемы совпадают, то отношение между ними изображается одним кругом. В случае частичного совпадения объемов отношение изображается пересечением двух кругов. Если обозначить объем одного понятия через A , другого через В, то графически отношения эквивалентности (Рис.1) и перекрещивания (Рис.2) можно представить соответствующими диаграммами. Поскольку объемы понятий образуют классы (или множества) предметов, элементы которых обладают признаками, сформулированными в их содержании, то над этими классами (или множествами) можно производит определенные логические операции. Они тождественны операциям, которые изучаются в теории множеств. Например, объединение плоских фигур будет состоять из класса треугольников, классы четырехугольников, окружностей и других фигур, класс деревьев – из классов хвойных, лиственных и др. деревьев. Остенсивные и контекстуальные определения понятий, их отличие от определений через род и видовое отличие. Контекстуальное (от лат.Contextus-«соединение», «связь») определение характеризуется тем, что она позволяет выяснить суть, значение слова, смысла которого мы не знаем, через контекст, т.е. через относительно законченный отрывок информации, которое сопровождает данное слово, относится к нему и содержит его признаки. Остенсивное определение устанавливает значение термина, прибегая к демонстрации предмета, обозначаемого этим термином. Такие определения применяются при раскрытии сущности предмета чувственного мира, другими словами, предметов, которые доступны, для непосредственного восприятия.
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 288. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |