Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Задачи, приводящие к понятию производной функции
1.1. Скорость прямолинейного движения Пусть материальная точка (некоторое тело) M движется неравномерно по некоторой прямой, например, спортсмен, преодолевающий 100 м. Пусть нам известна зависимость пройденного расстояния (рис. 1) от времени t в виде , то есть, известен закон движения точки. Если в некоторый момент времени t точка занимает положение M, то в момент времени точка займет положение , то есть за время расстояние точки изменится с на . Таким образом, перемещение точки M за время составит . Найдем среднюю скорость материальной точки на этом интервале
Однако это средняя скорость за период времени . Очевидно, что она не соответствует текущему значению. Чтобы точнее рассчитать скорость, необходимо уменьшать интервал времени , на котором происходит усреднение скорости. В предельном случае, когда , получим скорость движения точки в данный момент времени, или мгновенную скорость. Обозначим эту скорость V и получим . (1) 1.2 Касательная к кривой Возьмем на непрерывной кривой L две точки и (рис. 2). Определение № 1. Прямая, проходящая через две точки непрерывной кривой, называется секущей. Пусть точка , двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке M. Тогда секущая, поворачиваясь около точки M, стремится к некоторому предельному положению MT. Определение № 2. Касательной к данной кривой в данной точке M называется предельное положение секущей, проходящая через эту точку, когда вторая точка пересечения секущей и кривой L неограниченно приближается к ней. Рассмотрим график непрерывной кривой (рис. 3), имеющий в точке невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент , где – угол касательной с осью . Для этого проведем через точку и точку секущую . Обозначим – угол между секущей и осью . Очевидно, что этот угол будет определяться согласно
При в силу непрерывности функции приращение тоже стремится к нулю. Поэтому точка неограниченно приближается по кривой к точке , а секущая , поворачиваясь около точки , переходит в касательную. Соответственно угол , т. е. . Следовательно, . (3) Итак, мы пришли к необходимости нахождения предела отношения приращения функции к пределу приращения аргумента. К нахождению пределов вида (1) и (2) приводят решения и множества других прикладных задач, будь то сила тока, скорость течения химической реакции, скорость роста популяции или экономический рост. В любом случае пределы будут иметь одинаковый вид. Эти пределы записываются кратко или . Читается: V равно S штрих по t или тангенс равен y штрих по x. 2. Определение производной |
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 418. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |