Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Масса инертная и масса гравитационнаяСтр 1 из 2Следующая ⇒
Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции при ускоренном произвольном движении системы отсчета. Центробежная сила. Сила Кориолиса. Вес тела. Общийслучай движения тела в неинерциальной системе отсчета. Возьмем две системы отсчета К и К' (рис. 78), из которых К инерциальна, а К' неинерциальна. (8.1) Скорость точки т по отношению к системе К по определению равна рис. 8. 1 скорость же по отношению к системе К¢ есть где через d'r' - приращение радиуса-вектора г' по отношению к системе К¢.. Согласно (8.1) приращение радиуса-вектора r в К-системе (8.2) где (см. лекцию по кинематике) (8.3) Тогда: (8.4) Разделив это выражение на dt (8.5) Приращение вектора v, (8.6) Заменим в этой формуле dr' его значением (8.3), а dv' — аналогичным выражением: (8.7) dv' - приращение вектора v', наблюдаемое в системе К, a d¢v¢ — приращение v', наблюдаемое в системе К¢. Произведя замену, придем к выражению: Или Разделим найденное выражение на dt: Или (8.8) где а0 — ускорение начала координат системы К' («поступательное» ускорение системы К'). Умножив вектор ain=а-а¢на m и изменив знак на обратный, получим силу инерции. Согласно (8.8) Следовательно, (8.9) Формула (8.9) содержит все виды сил инерции. Так, если система К¢ движется относительно системы К только поступательно, без вращения, сила инерции равна fin = —mа0. При наличии вращения появляются дополнительно кориолисова сила (8.9.а) и центробежная сила инерции , которую можно представить в виде (8.9.б).
Кориолисова сила возникает только в случае, когда тело изменяет свое положение по отно шению к вращающейся системе отсчета (при v' = 0 выражение для кориолисовой силы обращается в нуль) Сила Кориолиса всегда лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения.
Относительно всех инерциальных систем тело обладает одинаковым ускорением а. Поскольку любая НеИСО движется относительно ИСО с некоторым ускорением, ускорение тела в НеИСО a' будет отлично от а. Обозначим разность ускорений тела в аin: (8.10) Если НеИСО движется относительно инерциальной поступательно, то а совпадает с ускорением неинерциалыюй системы отсчета. При вращательном движении различные точки неинерциальной системы имеют неодинаковое ускорение. Пусть результирующая всех сил, обусловленных действием на данное тело со стороны других тел, равна f, Тогда согласно второму закону Ньютона Ускорение же относительно НеИСО можно в соответствии с (8.10)представить в виде Таким образом, даже если результирующая всех сил, приложенных к телу, будет равна нулю, тело будет двигаться по отношению к неинерциалыюй системе отсчета с ускорением —аin, т. е. так, как если бы на него действовала сила, равная —таin. Следовательно, при описании движения в НеИСО можно пользоваться уравнениями динамики, справедливыми только для инерциальных систем, если наряду с силами, обусловленными воздействием тел друг на друга, учитывать так называемые силы инерции fin, которые следует полагать равными произведению массы тела на взятую с обратным знаком разность его ускорений по отношению к ИСО и НеИСО: Тогда уравнение второго закона Ньютона будет иметь вид
Пример рис. 8.2
Введение сил инерции дает возможность описывать движение тел в любых системах отсчета с помощью одних и тех же уравнений движения. Силы инерции обусловлены свойствами той системы отсчета, в которой рассматриваются механические явления. В этом смысле их можно назвать фиктивными силами. Введение в рассмотрение сил инерции не является принципиально необходимым. В принципе любое движение можно всегда рассмотреть по отношению к инерциальной системе отсчета. Однако практически часто представляет интерес как раз движение тел по отношению к неинерциальным системам отсчета, например по отношению к земной поверхности. Использование сил инерции дает возможность решить соответствующую задачу непосредственно по отношению к такой системе отсчета, что часто оказывается значительно проще, чем рассмотрение движения в инерциальной системе.
Центробежная сила инерции Рассмотрим диск, вращающийся вокруг перпендикулярной к нему оси z' с угловой скоростью (рис. 8.3) рис. 8.3 (8.11) Силу инерции (8.11), возникающую во вращающейся (по отношению к инерциальным системам) системе отсчета, называют центробежной силой инерции. Различные точки во вращающейся системе отсчета обладают различным по величине и направлению ускорением по отношению к инерциальной системе. В соответствии с этим центробежная сила инерции зависит от положения тела во вращающейся системе отсчета. Центробежная сила инерции действует на тело во вращающейся системе отсчета независимо от того, покоится тело в этой системе (как мы предполагали до сих пор) или движется относительно нее со скоростью v'. При точном решении задач о движении тел относительно земной поверхности нужно учитывать центробежную силу инерции.
Сила Кориолиса При движении тела относительно вращающейся системы отсчета, кроме центробежной силы инерции, появляется erne одна сила, называемая силой Кориолиса или кориолисовой силой инерции. Появление кориолисовой силы можно обнаружить на следующем примере. Возьмем горизонтально расположенный диск, который может вращаться вокруг вертикальной оси. Прочертим на диске радиальную прямую О А (рис. 8. 4, а). Запустим в направлении от 0 к А шарик со скоростью v'. Если диск не вращается, шарик будет катиться вдоль прочерченной нами прямой.
рис 8.4 если же диск привести во вращение в направлении, указанном стрелкой, то шарик будет катиться по изображенной пунктиром кривой 0В, причем его скорость относительно диска v' будет изменять свое направление. Следовательно, по отношению к вращающейся системе отсчета шарик ведет себя так, как если бы на него действовала сила fк, перпендикулярная к скорости v'. Чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиальной прямой, нужно сделать направляющую, например, в виде ребра ОА (рис. 8.4,б). При качении шарика направляющее ребро действует на него с некоторой силой fr. Относительно вращающейся системы (диска) шарик движется с постоянной по направлению скоростью. Это можно объяснить тем, что сила fr уравновешивается приложенной к шарику силой инерции fк, перпендикулярной к скорости v'. Эта сила и есть кориолисова сила инерции. Будем искать ее по формуле (8.9.а), начав с рассмотрения частных случаев. Случай 1. Тело движется в радиальном направлении с постоянной скоростью v', перпендикулярной к оси вращения (рис. 8.5); ось вращения перпендикулярна к рис 8.5
Таким образом, приращение dv, которое получает за время dt скорость v, можно представить как векторную сумму трех приращений (см. рис. 8.5) Разделив соответствующие составляющие dv на dt, мы получим составляющие ускорения а по отношению к неподвижной системе, (8.12) Эта составляющая не зависит от v'; она существует и при v' = 0, Произведение этой составляющей на —т дает уже известную нам центробежную силу инерции. Составляющая dvx, равная сумме dvxl и dvX2, после деления на dt дает составляющую wx ускорения w, модуль которой равен
Или (8.13) Умножив (8.13) на m и изменив знак на обратный, получим кориолисову силу инерции: (8.14)
Случай 2. Относительно вращающейся системы отсчета тело движется по рис. 8.6
окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, причем центр окружности лежит на этой оси (рис. 8.6). По отношению к вращающейся системе тело обладает центростремительным ускорением, которое равно где n — единичный вектор, перпендикулярный к v' и имеющий направление к центру вращения. Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета будет слагаться из двух перпендикулярных к радиусу R составляющих: v' и wR. В зависимости от направления скорости v' и направления вращения системы эти составляющие будут иметь либо одинаковые, либо противоположные направления. Модуль скорости v будет равен где « + » соответствует одинаковым, а «—» противоположным направлениям скоростей . По отношению к неподвижной системе тело также будет двигаться равномерно по окружности, так что ускорение w можно записать следующим образом: Первое слагаемое представляет собой ускорение а' относительно вращающейся системы. Следовательно, (8.15) В соответствии с этим выражением сила инерции оказывается состоящей из двух компонент: (8.16) Первая из этих сил есть центробежная сила инерции, вторая — кориолисова сила. Сила fк перпендикулярна к векторам v' и R и имеет направление: а) от центра, если скорости v' и wR совпадают по направлению (верхний знак в (8.16)), б) к центру, если скорости v' и wR направлены в противоположные стороны (нижний знак). Оба эти случая можно объединить в следующем выражении: Примеры движений, в которых проявляется кориоли-сова сила инерции. При истолковании явлений, связанных с движением тел относительно земной поверхности, в ряде случаев необходимо учитывать влияние кориолисовых сил. Например, при свободном падении тел на них действует кориолисова сила, рис. 8.7 обусловливающая отклонение к востоку от линии отвеса (рис. 8.7 а). Эта сила максимальна на экваторе и обращается в нуль на полюсах. Летящий снаряд также испытывает отклонения, обусловленные кориолисовыми силами инерции (рис. 8.7 б). При выстреле из орудия, направленного на север, снаряд будет отклоняться к востоку в северном полушарии и к западу — в южном. При стрельбе вдоль экватора силы Кориолиса будут прижимать снаряд к Земле, если выстрел произведен в направлении на запад, и поднимать его кверху, если выстрел произведен в восточном направлении. Сила Кориолиса, действующая на тело, движущееся вдоль меридиана в любом направлении (на север илина юг), направлена по отношению к направлению движения вправо в северном полушарии и влево в южном полушарии. Это приводит к тому, что у рек подмывается всегда правый берег в северном полушарии и левый берег в южном полушарии. Эти же причины объясняют неодинаковый износ рельсов при двухколейном движении. Силы Кориолиса проявляются и при качаниях маятника. На рис. показана траектория груза маятника (для простоты предположено, что маятник находится на полюсе). На северном полюсе сила Кориолиса будет все время направлена ??? по ходу маятника, на южном полюсе — ??? . В итоге траектория имеет вид розетки. Как следует из рисунка, плоскость качаний маятника поворачивается относительно Земли в направлении ???, причем за сутки она совершает один оборот. Относительно гелиоцентрической системы отсчета дело обстоит так, что плоскость качаний остается неизменной, а Земля поворачивается относительно нее, делая за сутки один оборот. Вес тела Весом тела называется сила Р, равная и противоположно направленная силе, с которой это тело действует на подставку, на которой оно лежит, или тянет за подвес, к которому оно подвешено.При этом предполагается, что тело, подставка и подвес покоятся в той системе отсчета, в которой производится взвешивание. Когда говорят о весе тела, обычно предполагают, что тело, подставка и подвес покоятся относительно Земли. (8.17) С учетом вращения Земли (8.18) Если тело подвешено на нити, то направление нити определяет направление силы Р, а следовательно, и ускорение свободного падения g. Оно называется направлением отвесаили отвесным направлением. 2. Вектор gабс характеризует гравитационное поле Земли. В каждой точке пространства он определяется только размерами и формой Земли, а также распределением вещества в ней. Если бы Земля была правильным шаром, а вещество внутри нее было распределено сферически-симметрично, то вектор gабс. был бы направлен точно к центру Земли. Направление отвеса определяется вектором g, т. е. диагональю параллелограмма, построенного на векторах ga6c и w2r^ (рис. 8.8). Таким образом, если бы даже Земля была строго сферически-симметрична, то направление к ее центру не совпадало бы с направлением отвеса. Ввиду медленности вращения Земли и малости ее сплюснутости, оба направления отличаются друг от друга весьма мало. Для сферически-симметричной Земли угол a между ними определяется формулой (8.19)
где — географическая широта рассматриваемого места (рис. 8.8). На полюсе и на экваторе угол a обращается в нуль. Для реальной (несферической) Земли формула (8.19), хотя и приближенна, но достаточно точна. рис. 8.8 Проектируя векторы ga6cи w2r^ на направление вектора gи полагая cos a~1: (8.20) Ошибка этого расчета порядка a2. Величина g может быть найдена путем взвешивания или из опытов по свободному падению тел. Более точно ее можно найти, измеряя период колебаний оборотного маятника. Опыты показали, что g зависит от географической широты. На полюсе g = 983,2 см/с2, на экваторе g = 978,0 см/с2. Если бы Земля была правильным шаром со сферически-симметричным распределением вещества в нем, то величина ga6c должна была бы быть одной и той же на полюсе и на экваторе. В действительности на экваторе ga6c меньше, чем на полюсе. Это объясняется сплюснутостью Земли, обусловленной действием центробежных сил. Точки экватора отстоят от центра Земли дальше, чем полюсы. Поэтому они притягиваются к центру Земли слабее, чем такие же точки на полюсе. Состояние «невесомости» - самостоятельно.
Тяготение Закон всемирного тяготения. Эквивалентность инертной и гравитационной масс. Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции.
Все тела в природе взаимно притягивают друг друга. Закон, которому подчиняется это притяжение, был установлен Ньютоном и носит название закона всемирного тяготения. Согласно этому закону сила, с которой два тела притягивают друг друга, пропорциональна массам этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: (9.1) где у — коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной. Направлена сила рис. 9.1 вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела (рис. 9.1). Формула (9.1) дает численное значение равных по величине сил f12 и f21. Тела, о которых идет речь в соотношении (9.1), представляют собой, очевидно, материальные точки. Для определения силы взаимодействия тел, которые не могут рассматриваться как материальные точки, их нужно разбить на элементарные массы Am, т. е. небольшие объемы, каждый из которых можно было бы принять за материальную точку (рис. 9.1). Согласно (9.1) i-я элементарная масса тела притягивается к k-й элементарной массе тела 2 с силой (9.2) Просуммировав (9.2) по всем значениям k, получим результирующую всех сил, действующих со стороны тела 2 на принадлежащую телу 1 элементарную массу Dmi: (9.3) Наконец, просуммировав (9.3) по всем значениям индекса i, т. е. сложив силы, приложенные ко всем элементарным массам первого тела, получим силу, с которой тело 2 действует на тело 1: (9.4) Суммирование производится по всем значениям индексов i и k. Следовательно, если тело 1 разбить на n1, а тело 2 — на n2элементарных масс, то сумма (9.4) будет содержать N{N2 слагаемых. По третьему закону Ньютона тело 1 действует на тело 2 с силой f21, которая равна —f12. Практически суммирование (9.4) сводится к интегрированию и является, вообще говоря, очень сложной математической задачей. Если взаимодействующие тела представляют собой однородные шары, то вычисление согласно (9.4) приводит к следующему результату: (9.5) Таким образом, шары взаимодействуют, как материальные точки, имеющие массы, равные массам шаров, и помещенные в их центрах. Если одно-из тел представляет собой шар очень большого радиуса R (например, земной шар), а второе тело, не будучи шаром, имеет размеры, гораздо меньшие К, и находится вблизи поверхности шара, то их взаимодействие описывается формулой (9.5), где вместо г нужно взять радиус шара (расстоянием от второго тела до поверхности шара, а также размерами второго тела можно пренебречь по сравнению с К). Если пользоваться для измерения величин, входящих в (9.1), ранее установленными единицами, то гравитационнай постоянная g оказывается размерной величиной, численное значение которой установлено опытным путем. Размерность её в соответствии с (9.1) равна Численное значение g было определено путем измерения силы, с которой притягиваются друг к другу тела известной массы. При таких измерениях возникают большие трудности, так как для тел, массы которых могут быть непосредственно измерены, сила притяжения оказывается крайне малой. Так, например, два тела с массой 100 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, взаимодействуют с силой порядка 10-6 Н. Первой успешной попыткой определения gбыли измерения, осуществленные Кавендишем (1798 г.) который применил для измерения сил весьма чувствительный рис. 9.2 метод крутильных весов (рис. 9.2). Два свинцовых шара т (с массой 729 г каждый), прикрепленных к концам легкого коромысла, помещались вблизи симметрично расположенных шаров М (с массой по 158 кг). Коромысло подвешивалось на упругой нити, по закручиванию которой можно было измерять силу притяжения шаров друг к другу. Верхний конец нити был закреплен в установочной головке, поворотом которой можно было менять расстояние между шарами т и М. Наиболее точным из определенных разными способами считается значение Если в (9.5) подставить m1 т2 и r, равные единице, то сила оказывается численно равной g- Таким образом, два шара с массой 1 кг каждый, центры которых отстоят друг от друга на 1 м, притягиваются взаимно с силой, равной 6,670 • 10-11 Н. При изучении движения тел относительно земной поверхности нужно иметь в виду, что система отсчета, связанная с Землей, не инерциальна. Ускорение, соответствующее движению по орбите, гораздо меньше, чем ускорение, связанное с суточным вращением Земли. Поэтому можно считать, что система отсчета, связанная с Землей, вращается относительно инерциальных систем с постоянной угловой скоростью w. Следовательно, рассматривая движение тел относительно Земли, нужно вводить центробежную силу инерции где т — масса тела, r—расстояние тела от земной оси (рис. 9.3). рис.9.3 Ограничиваясь случаями, когда высота тел над поверхностью Земли невелика, можно положить r равным RЗсоsj. Тогда (9.6) Наблюдаемое относительно Земли ускорение свободного падения тел g будет обусловлено действием двух сил: fg, с которой тело притягивается Землей, и fin. Результирующая этих двух сил есть сила тяжести. Поскольку сила Р сообщает телу с массой т ускорение g, справедливо следующее соотношение: Отличие силы тяжести Р от силы притяжения к Земле f<r невелико, так как центробежная сила инерции значительно меньше, чем fg.(примерно в 300 раз). Угол a между направлениями fg и Р можно оценить, воспользовавшись теоремой синусов:
(9.7) Синус малого угла можно приближенно заменить значением самого угла Таким образом, в зависимости от широты j угол aколеблется в пределах от нуля (на экваторе и на полюсах) до 0,0018 рад или 6' (на широте 45°). Направление Р совпадает с направлением нити, натянутой грузом, которое называется направлением отвеса. Сила fg направлена к центру Земли. Следователь-но, нить отвеса направлена к центру Земли только на полюсах и на экваторе, отклоняясь на промежуточных широтах на угол, определяемый выражением (9.7). Разность fg—Р равна нулю на полюсах и достигает максимума, равного 0,3% силы fg, на экваторе. Из-за сплюснутости земного шара у полюсов сила инерции сама по себе несколько варьирует с широтой, будучи на экваторе примерно на 0,2% меньше, чем у полюсов. В итоге ускорение свободного падения g меняется с широтой в пределах от 9,780 м/сек2 на экваторе до 9,832 м/сек2 на полюсах. Значение g = 9,80665 м/сек2 принято в качестве нормального (стандартного) значения.
Масса инертная и масса гравитационная Масса фигурирует в двух различных законах: во втором законе Ньютона и в законе всемирного тяготения. В первом случае она характеризует инертные свойства тела, во втором — гравитационные свойства, т. е. способность тел притягивать друг друга. В связи с этим возникает вопрос, не следует ли различать инертную массу min и массу гравитационную (или тяготеющую) mg. Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Рассмотрим в гелиоцентрической системе отсчета свободное падение тел. Всякое тело вблизи поверхности Земли испытывает силу притяжения к Земле .
Под действием этой силы тело приобретает ускорение w(но не g): (9.8) Опыт показывает, что ускорение wдля всех тел одинаково (из одинаковости g) Отношение mg/min оказывается для всех тел одним и тем же. К такому же результату приводят и все другие опыты, в которых могло бы проявиться различие между инертной и гравитационной массами. Вся совокупность опытных фактов указывает на то, что |
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 577. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |