Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Двумерная пластина с теплообменом со средой
Рассмотрим двумерную пластину, пренебрегаем изменением температуры по ее толщине. В этом случае, температурное поле пластины является двумерным и изменяется только по оси х и у. Зададим граничные условия 3 рода, т.е. на границах пластины происходит теплообмен со средой. Для решения задачи примем следующие начальные данные: · температуры сред и коэффициенты теплоотдачи со сторон границ пластины соответственно равны: Та1=400 0С, Та2=50 0С, Та3=500 0С, Та4=60 0С,α1=3000 Вт/м2 0С, α2=60 Вт/м2 0С, α3=100 Вт/м2 0С, α4=2000 Вт/м2 0С; · длина пластины L равна 80 мм; · теплопроводности материалов λ1 = 50 Вт/м 0С, λ2 =30 Вт/м 0С, λ3 = 390 Вт/м 0С, λ4 = 400 Вт/м 0С; · А0=0.0004 м2 ; Рассмотрим баланс потока теплоты в i-ом выделенном объеме, воспользовавшись интегральным уравнением теплового баланса
где Vi = A∆xi – объем i-го элемента; Si- площадь всей поверхности выделенного i -го объема. Индекс i относит рассматриваемые переменные к i-му выделенному объему. Поверхностный интеграл в левой части уравнения (3.3.1) выражает суммарный тепловой поток, пересекающий поверхность выделенного i-ro объема. Так как, рассматриваемая задача является стационарной, т.е. dT/dt =0 Уравнения теплового баланса, записанные для узлов тепловой схемы, имеют вид:
где R – тепловые сопротивления выделенных объемов между узлами и рассчитываются и соответствуют кондуктивной проводимости А на границе материалов тепловые сопротивления рассчитываются как ,где λi и λg-коэффициенты теплопроводности граничащих материалов. Конвективные тепловые проводимости, которые входят в ветви . Соответственно тепловые проводимости равны g1=1.2; g2=0.5; g3=0.5; g4=0.024; g5=0.3; g6=0.4; g7=0.024; g8=0.04; g9=0.3; g10=0.024; g11=1.2; g12=2.2; g13=3.9; g14=1.15; g15=2.95; g16=0.04; g17=2; g18=1.2; g19=3.9; g20=0.8; g21=2; g22=0.8; g23=0.04; g24=0.8 В стационарном случае, вектор-столбец температур Т описывается матричным уравнением, при , т.е.
Введя вектор-столбец тепловых потоков ветвей J=||J1 J2 J3 J4 J5 …… J24||Т, систему уравнений можно записать в матричном виде AJ=0 Матрица A называется матрицей инциденций, для рассматриваемого случая имеет размерность 9*24 и равна:
Она получается путем сложения по горизонтали отдельных матриц в программе MathCAD с помощью функции augment
Уравнение является, по существу, дискретным уравнением баланса тепловых потоков в тепловой схеме. Вид матрицы A нетрудно понять. Строки матрицы соответствуют узлам графа, а столбцы матрицы соответствуют ветвям графа, причем номер столбца равен номеру ветви в тепловой схеме. Вводим вектор столбец температур узлов графа
Сравнение матрицы инциденций A и матрицы показывает, что последняя матрица является транспонированной по отношению к матрице А, т.е. равна ΔТ=АТТ Полученные матрично-топологические соотношения устанавливают связь между тепловыми потоками в ветвях тепловой схемы и преобразование узловых температур в разности температур в ветвях. Матрица инциденций А отображает структуру тепловой схемы. Матрица А, естественным образом, была получена из системы уравнений баланса тепловых потоков в узлах графа. Для исчерпывающего описания графа тепловой схемы необходимо располагать соотношениями, связывающими тепловые потоки и разности температур в ветвях графа, в соответствии с элементами схемы, представленными ветвями. Выше было показано, что тепловой поток Ji в i-ой ветви равен Ji=giΔTi. Тогда связь векторов-столбцов J и ΔТ может быть записана в следующем матричном виде: , где G – квадратная матрица проводимостей ветвей размерностью М*М, М – количество ветвей графа. Матрица проводимостей G формируется следующим образом: если ветвь i представляет собой тепловую проводимость gi (кондуктивную или конвективную), то элемент ii матрицы G равен gi. Строим матрицу проводимостей G:
Она получается путем сложения по горизонтали отдельных матриц в программе MathCAD с помощью функции augment и сложения по вертикали с помощью функции stack. Строим новую матричную функцию:
-вектор – столбец начальных температур в момент времени равный нулю в узлах тепловой схемы. Подставляя в уравнение, находим искомые температуры в узлах стержневого элемента
Т1=402.2530С Т2=399.6650С Т3=379.6520С Т4=426.6760С Т5=431.8190С Т6=429.1660С Т7=435.1150С Т8=441.0480С Т9=442.650С Рисунок 9. График распределения температур полученный в программе MathCAD |
||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 269. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |