Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Получение уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона.
Из принципа Гамильтона обычным методом вариационного исчисления можно получить дифференциальные уравнения. Наряду с зависимостью , описывающей истинное движение механической системы, рассмотрим пробные функции , отличающиеся от на бесконечно малую величину: (3.1) Дифференцируя равенство (3.1) по времени, найдем (3.2) Откуда следует, что вариация скорости равна производной от вариации координаты: . (3.3). Это уже было отмечено ранее, что дифференцирование по времени и варьирование можно переставлять. Вариации координат рассматриваются такими, что в моменты времени и . они равны нулю: (3.4) Действие для пробных функций разложим в ряд в линейном приближении по , и : (3.5) Интеграл от одного из слагаемых первой суммы в (3.5) вычислим по частям: (3.6) Согласно условию (3.4), на пределах интегрирования . Поэтому первое слагаемое в последнем равенстве обращается в нуль. Подставляя теперь результат из (3.6) в (3.5) и записывая вариацию действия, получим (3.7) Поскольку вариации координат произвольны, то нулю должны равняться выражения в скобках для каждого . В результате получается система дифференциальных уравнений, которые в механике называются уравнениями Лагранжа: (3.8) Уравнения Лагранжа - это система дифференциальных уравнений относительно неизвестных обобщенных координат . Их решение дает зависимость обобщенных координат от времени, которая удовлетворяет принципу Гамильтона и, следовательно, описывает истинное движение механической системы. Преимуществом уравнений Лагранжа по сравнению с векторными уравнениями второго закона Ньютона является то, что они получаются из одной скалярной функций - функции Лагранжа и сразу оказываются записанными в обобщенных координатах Несмотря на то, что функция Лагранжа равна разности кинетической и потенциальной энергии, в выборе функции Лагранжа имеется некоторый произвол. Две функции Лагранжа, отличающиеся на полную производную по времени от произвольной функции координат и времени, дают одни и те же уравнения движения. Покажем это. Пусть и отличаются на полную производную по времени от некоторой функции ; (3.9) Тогда для разности действий, отвечающих этим функциям Лагранжа, получим:
Вследствие того, что вариация координат на пределах интегрирования и =0, вариации и равны. Поэтому онибудут обращаться в нуль одними и теми же зависимостями , то есть принцип Гамильтона с функцией Лагранжа дает тот же закон движения системы, что и принцип Гамильтона с функцией Лагранжа . Наличие этого произвола позволяет иногда упрощать функцию Лагранжа путем отбрасывания членов, которые можно объединить в выражение, представляющее полную производную по времени от функции координат и времени. Ур-ия Лагранжа обобщаются на механические системы, в которых действуют непотенциальные силы. Выражение для; обо6щенной непотенциалыюй силы нужно добавить в правую часть уравнений Лагранжа. Они тогда принимают вид , где (3,10) В частном случае, когда непотенциальные силы являются силами трения, пропорциональными первой степени скорости, они могyт быть получены из диссипативной функции Рэлея: ; (3.11) Коэффициенты могут зависеть от координат и характеризуют силы трения в механической системе. Для механических систем, в которых силы трения могут быть описаны диссипативной функцией Рэлея, уравнения Лагранжа имеют вид (3.12) Ур-ия (3.10) и (3.12) не могут быть получены на основе вариационного принципа. Они выводятся непосредственно из принципа Даламбера. В лагранжевом формализме можно включать в уравнения движения силы немеханической природы. Например, ур-ия движения заряда в электромагнитном поле получаются из фунции Лагранжа, которая содержит слагаемые, описывающие взаимодействие заряда с полем: (3.13) где и — скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля, — скорость света в вакууме. Электромагнитные величины записаны в гауссовой системе единиц. При замене функции Лагранжа классической механики на функцию Лагранжа специальной теории относительности ур-ия Лагранжа дают ур-ия движения механики спец. теории относительности.
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 395. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |