Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА пп
Спектральный метод применяется для определения реакции цепи (обычно это – одна выходная величина, некоторый ток или напряжение) на воздействие (входная величина) в виде импульса или серии импульсов. Эта реакция представляет собой некоторый переходный процесс. Суть метода заключается в том, что импульс воздействия представляют в виде суммы бесконечного числа (в виде интеграла) бесконечно малых по амплитуде синусоидальных функций времени, имеющих разные амплитуды, частоты и начальные фазы. Анализ процессов спектральным методом выполняют с помощью прямого (*) и обратного (**) преобразования Фурье: F(jw) = F(w)·e jY(w) = , (*) f(t) = . (**) Здесь функция времени (сигнал) f(t) – оригинал, изображение F(jw) – спектральная характеристика или спектральная плотность сигнала, F(w) – амплитудно-частотная, а Y(w) – фазо-частотная характеристики. В случаях, когда функция f(t) отлична от нуля только в интервале t > 0, прямое преобразование Фурье называют односторонним, которое является частным случаем преобразования Лапласа, в котором комплексная перемен-ная р заменена мнимой переменной jw: F(jw) = . Спектральный метод анализа процессов в цепях включает в себя: определение спектральной плотности сигнала воздействия (входной величины) по заданной функции времени; определение комплексной передаточной функции цепи (частотных характеристик цепи); определение спектральной плотности выходной величины (реакции или отклика цепи); определение выходной величины в функции времени. Ввиду необходимости выполнения сложных и громоздких вычислений даже в сравнительно простых случаях этот метод становится целесообразным в случае применения мощной вычислительной техники. Поэтому решение ряда задач выполнено с применением системы MathCAD.
ЗАДАЧА 7.76. Определить спектральную плотность следующих сигна-лов: а) f(t) = б) f(t) = в) f(t) = Решение а). Воспользуемся прямым преобразованием Фурье: F(jw) = = = е -jwt = = (е-jw·0,001 – е+jw·0,001) = ·(-j2sin(0,001w)) = sin(0,001w). б). Так как функция f(t) равна нулю при t < 0, то можно воспользоваться таблицами преобразования Лапласа. Разложим заданный прямоугольный импульс на две ступенчатые составляющие с амплитудами 5 и -5, причём вторая составляющая запаздывает на 10 мс. Их изображения (по Лапласу): и - е -р·0,01. Изображение заданного импульса F(р) = – е -р·0,01 = (1 – е -р·0,01). Спектральную плотность получим, если в ответе заменим р на jw: F(jw) = (1 – е -jw·0,01). в). Воспользуемся преобразованиями Лапласа, но выполним их с помощью системы MathCAD. Исходная функция, записанная одной формулой с помощью функции Хевисайда 1(t) = Ф(t): f(t) := (100t2 + 1)·(Ф(t) – Ф(t – 0,1)) + (-10t + 4)·(Ф(t – 0,1) – Ф(t – 0,5)). Изображение функции: f(t) ® + – 30.· – – 200.· + + + 10.· или F(р) = (1 + е -0,1р + е -0,5р) + (-3е -0,1р + е -0,5р) + (1 – е -0,1р). Искомая спектральная плотность F(jw) = (1 + е -0,1jw + е -0,5jw) + (-3е -0,1jw + е -0,5jw) + (1 – е -0,1jw). Графики функций и их спектры представлены на рис. 7.106. ЗАДАЧА 7.77. Определить комплексную передаточную функцию, построить её АЧХ и ФЧХ для цепей рис. 7.107 при следующих числовых значениях: r1 = 100 Ом, r2 =200 Ом, С = 10 мкФ, L1= 0,1 Гн, L2= 0,02 Гн, М = 0,9 = 0,04 Гн. Под каждым рисунком указано, какая величина счи- тается входной, какая – выходной. Решение а). Примем u2 = 1. Тогда i1 = u2(r2-1+ jwС) = r2-1+ jwС; u1 = u2 + r1i1 = 1 + r1(r2-1+ jwС). КПФ по напряжению Н1(jw) = u2/u1 = = = . Графики АЧХ Н1(w) =|Н1(jw)| и ФЧХ Y1(w) = arg(Н1(jw)) представлены на рис. 7.108. б). По правилу разброса тока в параллельные ветви i2 = j . КПФ по току Нi(jw) = i2/j = = . Графики АЧХ и ФЧХ функции Нi(jw) аналогичны графикам рис. 7.109. Если в качестве выходной величины выступает напряжение u2, то комплексное передаточное сопротивление Н2(jw) = u2/j = jwL1i2/ j = = Ом. Графики АЧХ и ФЧХ функции Н2(jw) представлены на рис. 7.109. в). В этой схеме i2 = j и u2 = ·i2 = j . Комплексное передаточное сопротивление Н3(jw) = u2/j = = Ом. Графики АЧХ и ФЧХ представлены на рис. 7.110. г). Запишем систему уравнений относительно контурных токов i1 и i2: (r1+ r2+ jwL1+ jwL2 + j2wM)i1– (r2+ jwL2 + jwM)i2 = U1, -(r2+ jwL2 + jwM)i1 + (r2+ jwL2 + )i2= 0. Найдём способом подстановки: i1 = i2 , i2 = U1. Комплексная передаточная проводимость Н4(jw) = = = = = Cм. Графики АЧХ и ФЧХ представлены на рис. 7.111. ЗАДАЧА 7.78. Для указанных ниже цепи (берётся из задачи 7.76) и воздействия (из задачи 7.77) получить спектр и функцию времени выходной величины: 1) цепь а), воздействие а); 2) цепь б), воздействие б); 3) цепь в), воздействие б); 4) цепь в), воздействие в). Решение 1. Цепь а) обеспечивает КПФ Н1(w) := , воздействие а) пред-ставлено спектром U1(w) := sin(0,001w) В·c. Тогда спектральная плотность выходного напряжения U2(w) := Н1(w)·U1(w), U2(w) = В·c. Оригинал напряжения (функция времени): u2(t) := U2(w) ® -3.334·ехр(-1500.·t – 1.500)·Ф(1.·t + 1.000·10-3) … Спектр и временной график выходного напряжения представлены на рис. 7.112. 2. Цепь б) обеспечивает КПФ Н2(w) := Ом, воздействие б) представлено спектром j(w) := (1 – е –jw·0,01) А·c. Тогда спектральная плот-ность выходного напряжения U2(w) := Н2(w)·j(w), U2(w) = В·c. Оригинал напряжения (функция времени): u2(t) := U2(w) ® 500.2·ехр(-3000.·t)·Ф(1.·t) – 500.2·ехр(-3000.·t + … Спектр и временной график выходного напряжения представлены на рис. 7.113. 3. Цепь в) обеспечивает КПФ Н3(w) := Ом, воздей-ствие б) представлено спектром j(w) := (1 – е –jw·0,01) А·c. Тогда спектраль-ная плотность выходного напряжения U2(w) := Н3(w)·j(w), U2(w) = В·c. Спектр напряжения см. на рис. 7.114. Оригинал напряжения (функция времени) с помощью функции invfourier не удаётся получить. Поступим другим образом. Применим формулу обратного преобразования Фурье, в которой вместо теоретических бесконечных пределов возьмём достаточно большие числа ±60000: u2(t) := · . Однако по этой формуле MathCAD не строит график (программа зависает). Сформируем массив из 201 значения функции с временным шагом 0,0001: dt := 0.0001 q := 0 .. 200 Tq := q·dt Xq := u2(Tq) График зависимости Xq(Tq) представлен на рис. 7.114. 4. Цепь в) обеспечивает КПФ Н3(w) := Ом, воздей-ствие в) представлено спектром j(w) := (1 + е -0,1jw + е -0,5jw) + (-3е -0,1jw + е -0,5jw) + (1 – е -0,1jw) А·c. Тогда спектральная плотность выходного напряжения U2(w) := Н3(w)·j(w). Спектр напряжения см. на рис. 7.115. Оригинал напряжения получим способом, описанным в п.3 этой задачи: u2(t) := · . Сформируем массив из 401 значения функции с временным шагом 0,0015: dt := 0.0015 q := 0 .. 400 Tq := q·dt Xq := u2(Tq) График зависимости Xq(Tq) представлен на рис. 7.115 Вывод. Спектральный метод является перспективным, позволяет автоматизировать анализ переходных процессов в цепях. Однако его использование предполагает наличие достаточно мощной вычислительной техники. Система MathCAD поддерживает этот метод лишь при решении сравнительно простых задач (цепи не более второго порядка, воздействия, описываемые одной-двумя формулами).
|
||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 226. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |