Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Неотрицательные и положительные матрицы, их свойства.
Определение. Матрица A = [aij] ∈ называется неотрицательной (положительной) и это обозначается как А≥0 (А>0), если аij≥0 (аij>0), i=1,n,j=1,m. Аналогично определяются отношения ≤ и < понятия неположительной (отрицательной) матрицы. Если A-B≥0 (A-B>0), то пишут А≥В (А>В). По определению . Свойства неотрицательных матриц. Пусть А,В Є . 10. |A| ≥0 ∀A; |A| =0⇔A=0. 20.|Ax| ≤ |A| |x|. 30.|Am| ≤ |A|m, ∀m=1,2, . . . 40.Если 0≤A≤B, то 0≤Am≤Bm, ∀m=1,2, . . .. 50.Если A>0, x≥0 и x ≠0, то Ax>0. 60.Если |A| ≤ |B|, то ||A||E ≤||B||E. 70.||A||E = A E. Теорема. Пусть A,B∈ . Если |A| ≤B, тоρ(A)≤ρ(|A|)≤ρ(B). Следствие. ПустьA, В∈ . Если 0 ≤ A ≤ B, то ρ(A)≤ρ(B). Лемма. Пусть A∈ иA≥0. Если строчные суммы для А постоянны, то ρ(A)=||A||∞. Если для A постоянны. столбцовые суммы, то ρ(A)=||A||1. Теорема. Пусть A∈ и A≥0. Тогда Следствие. Пусть A∈ , А≥0 и . Тогда . В частности, если А>0 или если А неразложима и неотрицательна. Теорема. Пусть A∈ и предположим, чтоА≥0. Тогда для любого положительного вектораxЄCnсправедливы неравенства: Следствие. Пусть A∈ , x ∈Rn, и предположим, что A≥0 и x>0. Если числа α,β≥0 таковы, чтоαx≤Ax≤βx, то α≤ρ(A)≤β. Если αx<Ax, то α<ρ(A); если Ax<βx, то ρ(A) <β. Следствие 9.4. Пусть A∈ и A≥0. ЕслиA имеет положительный собственный вектор, то отвечающее ему собственное значение есть ρ(A). Другими словами, если Ax=λx, x>0 и A≥0, то λ=ρ(A) Сравнение спектральных радиусов неотрицательных матриц Теорема Пусть A,B ∈ . Если |A| ≤ B, то ρ(A) ≤ ρ (|A|) ≤ ρ(B). Доказательство. Во-первых, из свойств неотрицательных матриц следует справедливость следующей цепочки неравенств для ∀ m = 1, 2,... : | |≤ ≤ . Далее из этих неравенств имеем для ∀ m = 1, 2,... : Переходя в последних равенствах к пределу при m → ∞ согласно равенству ρ(A) = получаем соотношения теоремы. Следствие Пусть A,B ∈ . Если 0 ≤ A ≤ B, то ρ(A) ≤ ρ(B).
Теорема Перрона (с доказательством) Теорема (Перрона). Если A ∈ и A > 0, то а) ρ(A) > 0; b) ρ(A) есть собственное значение матрицы A (ρ (A) = ∈ σ (A)); с) для некоторого ∈ имеем > 0 и A = ρ(A) ; d) ρ(A) есть алгебраически (а значит, и геометрически) простое собственное значение для A; е) |λ| < ρ(A) для всякого собственного значения λ ρ(A); другими словами, только одно собственное значение , равное именно ρ(A), имеет максимальный модуль; f ) где L ≡ x , Ax = ρ(A)x, y = ρ(A)y, x > 0, y > 0, y = 1. Доказательство: a)- b) Рассмотрим собственное значение λ, такое, что |λ| = ρ(A) > 0, и отвечающий ему собственный вектор x 0. По лемме(пусть еще Ax = λx, x 0 и |λ| = ρ(A). Тогда A|x| = ρ(A) |x| и |x| > 0.) искомым вектором будет |x|. e) По определению |λ| ≤ ρ(A) для всех λ ∈ σ(A). Пусть |λ| = ρ(A) и Ax = λx, x 0. Согласно лемме( для некоторого θ ∈ R имеем x = |x| > 0), Aw = λw, где w = x > 0 для какого-то θ ∈ R. Отсюда, опираясь на следствие(Если A имеет положительный собственный вектор, то отвечающее ему собственное значение есть ρ(A).др.словами λ = ρ(A)), получаем λ = ρ(A). d) ρ(A) есть собственное значение алгебраической кратности 1; другими словами, ρ(A)—это простой корень характеристического уравнения (t) = 0, где (t) —характеристический полином матрицы A. Теорема Перрона-Фробениуса Теорема (Перрона— Фробениуса). Пусть A ∈ неразложима и A ≥ 0. Тогда а) ρ(A) > 0; b) ρ(A) есть собственное значение матрицы A: ρ(A) = ∈ σ(A); с) для некоторого ∈ имеем > 0 и A = ρ(A) ; d) ρ(A) есть алгебраически (а значит, и геометрически) простое собственное значение для A.
Теорема Фань-Цзы. Теорема (Фань Цзы). Пусть A∈Cn×nи B∈Rn×n, B ≥ 0 и B ≥ |A|. Тогда любое собственное значение матрицыA принадлежит области . Доказательство. Будем считать, что B> 0. Если это не так, то можно рассматривать матрицу Bε ≡ [bij + ε], где ε> 0. ПриэтомBε> |A| и ρ(Bε) − (bii + ε) ρ(B) − bii. По теореме Перрона длякакого-то положительного векто-раx имеем Bx = ρ(B)x. Рассматривая это равенство покомпонентно для ∀i = ⌐i, n, имеем ρ(B)xi = + + ⇒ ρ(B) - , (i = ⌐ 1,n) Положив в (8.4 )pi = xi, убеждаемся в (9.1).
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 270. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |