Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Выражение координат образа данного вектора при аффинном преобразовании плоскости (пространства).
Координаты в аффинном пространстве Аn вводятся точно так же, как это делалось в случаях аффинных координат на плоскости и в пространстве Е3. Опр Аффинной системой координат или репером в аффинном пространстве Аn называется упорядоченная система (О, е1, е2,…, еn) (1), состоящая из некоторой точки О Аn и базиса е1, е2,…еn (2) соответствующего линейного пространства Vn. Координатами точки М Аn в репере (1) называются координаты x1,x2,…,xn (3) ее радиуса-вектора в базисе (2), т. е. коэффициенты в разложении = х1е1 + х2е2+...+хnеn.тогда верна Теорема. Координаты точки в заданном репере определены однозначно. Пусть наряду с точкой М задана еще одна точка N с координатами y1,y2,…,yn (4) в том же репере (1). Тогда =y1e1+у2е2+...+уnеn тогда = - =(y1-x1)e1+(y2-x2)e2+…+(yn-xn)en.Таким образом, координаты Xl,X2,...,Xn вектора в базисе (2) связаны с координатами (3) и (4) точек М и N в репере (1) формулами Xi=yi—xi, i=1, 2, ..., n. Рассмотрим наряду с репером (1) еще один репер (О', е'1, е'2,...,е'n).(5) Пусть заданы координаты а1, а2,...,аn точки О' в репере (1) и матрица A=[аij] перехода от базиса (2) к базису е'1,е'2,...,en. (6).Пусть, далее, произвольная точка М Аn имеет в репере (1) координаты (3) и в новом репере (5) координаты x’1, x’2,…,x’n (7).Мы хотим выразить старые координаты (3) точки М через ее новые координаты (7). Для этого введем следующие обозначения: X=[x1,x2,…,xn], X’=[x’1,x’2,…,x’n], A1=[a1,a2,…,an] (8) Так как координатный столбец вектора в базисе (2) равен X-A1, а в базисе (6) равен X', по формулам преобразования координат вектора имеем: X — А1=АХ' или X=AX’+A1 (9) Запишем формулы (9) в развернутом виде x1=а11х’1+а12х’2+a1nx’n+a1, xn=an1x’1+an2x’2+…+annx’n+an (10) или в виде xi = i=1,2,…,n (11) Формулы (9) — (11) называются формулами преобразования аффинных координат. Они выражают координаты произвольной точки в некотором репере (1) через координаты этой же точки в другом репере (5).
31.Ассимптотический конус. Рассмотрим урав-ние (однополосный гиперболойд); (конус); (двуполосный гиперболойд) Значения a,b,c-одинаковые. Рассмотрим сечение заданных поверхностей плоскостью z=h,) |h|>c. - эллипс; - полуоси; -эллипс; - полуоси; - полуоси;
Эллипсы в сечении будут расположены: ‘эллипс в сечении однопол. гипер. будет содержать внутри эллипс,полученный в сечении конуса и эллипса в сечении двуполос. гипер. Рассмотрим
. Аналогично можно показать, что . При в сечении получаются эллипсы, у которых полуоси стремятся друг к другу, но не будут совпадать. Конус находится внутри однопол. гипер.а двупол. гипер. внутри конуса. Тогда конус наз. ассимптотическим конусам к однопол. и двупол. гиперболойду. 32.Эллиптический параболоид. Сечения эллиптического параболоида и его образование. Опр Эллиптическим параболоидом называется фигура, которая в прямоугольной системе координат задается уравнением + =2z, (1) где p>0, q>0. Параболоид (1) симметричен относительно координатных плоскостей Oxz, Оyz и оси Оz. Так как из уравнения (1) следует, что z>0, то весь параболоид расположен по одну сторону от плоскости Оху. Рассмотрим пересечение параболоида (1) с плоскостью z=h. (2) Проекция на плоскость Оху множества Ф1 точек, получающихся в пересечении параболоида (1) с плоскостью (2), задается уравнением + =2h (3).Если h=0, уравнению (3) удовлетворяет лишь одна точка О (0,0,0); множество Ф1 в этом случае содержит лишь эту точку. При h > 0 множество Ф1 есть эллипс с полуосями a= , b= . Если h растет, то полуоси а и b увеличиваются, и эллипс, получающийся в сечении, неограниченно расширяется. Исследуем множество Ф1 точек, получающихся в пересечении параболоида (1) с плоскостью х = l. (4).Проекция этого множества на плоскость Оyz задается в системе координат Оyz уравнением y2 = 2qz—ql2/p. (5) .Аналогичная картина получается при пересечении параболоида (1) с плоскостью y=m (6) Проекция соответствующего сечения на плоскость Оxz имеет в системе координат Охz уравнение х2 = 2pz — pm2/q. При различных m сечения являются параболами одинаковых размеров (с параметром р). Таким образом, можно получить следующий способ построения эллиптического параболоида: если взять две параболы, плоскости которых взаимно перпендикулярны, а оси имеют одинаковое направление, и одну из этих парабол (образующую) передвигать поступательно так, чтобы ее вершина скользила по другой параболе (направляющей), то образующая парабола опишет эллиптический параболоид. Если поменять ролями образующую и направляющую параболы, то получится тот же параболоид. Величины р и q эллиптического параболоида (1) (рис.) называются параметрами параболоида, а начало координат — его вершиной. Если p=q, фигура (1) называется параболоидом вращения. Она может быть получена вращением параболы х2 = 2рz, расположенной в плоскости Oxz, вокруг оси Оz
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 285. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |